矢量场的量子化#
经典电动力学回顾#
首先我们回顾经典的电磁场。经典电磁场的自由拉氏量密度可以写为
(773)#\[\begin{equation}
{\cal L} = - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}
\end{equation}\]
其中场强张量和四维矢势定义作
(774)#\[\begin{equation}
F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu
\,, \qquad
A^\mu = (\phi, \vec{A})
\end{equation}\]
电场和磁场通过四维势可以表示为
(775)#\[\begin{equation}
\vec{E} = - \nabla \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
\,, \qquad
\vec{B} = \nabla \times \vec{A}
\end{equation}\]
场强张量的非零分量可以表示为
(776)#\[\begin{align}
F^{0i} = &\ \partial^0 A^i - \partial^i A^0 = - E^i
\\
\epsilon^{ijk} F^{jk} = &\ \epsilon^{ijk} (\partial^j A^k - \partial^k A^j) = - 2 B^i
\end{align}\]
其中\(\epsilon^{ijk}\)是三维Levi-Civita符号。用电场和磁场表示场强张量可以写为
(777)#\[\begin{equation}
F^{\mu\nu} = \begin{pmatrix}
0 & -E^1 & -E^2 & -E^3 \\
E^1 & 0 & -B^3 & B^2 \\
E^2 & B^3 & 0 & -B^1 \\
E^3 & -B^2 & B^1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
简单计算可以得到场强张量的平方为
(778)#\[\begin{equation}
F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} = - 2 \left( \vec{E}^2 - \vec{B}^2 \right)
\end{equation}\]
欧拉拉格朗日方程写为：
(779)#\[\begin{equation}
\partial_\mu \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_\mu A_\nu)} - \frac{\partial {\cal L}}{\partial A_\nu} = 0
\end{equation}\]
代入自由麦克斯韦拉氏量密度可以得到
(780)#\[\begin{equation}
\partial_\mu F^{\mu\nu} = 0
\end{equation}\]
代入\(F^{\mu\nu}\)的表达式得到麦克斯韦方程组中的两个：
(781)#\[\begin{align}
\nabla \cdot \vec{E} = &\ 0
\\
\nabla \times \vec{B} = &\ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}
\end{align}\]
麦克斯韦方程组的其余两个方程由如下Bianchi恒等式给出
(782)#\[\begin{align}
\partial_\mu F_{\nu\rho} + \partial_\nu F_{\rho\mu} + \partial_\rho F_{\mu\nu} = &\ 0
\end{align}\]
或者紧凑的写为
(783)#\[\begin{equation}
\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \partial_\nu F_{\rho\sigma} = 0
\end{equation}\]
代入场强张量的表达式可以得到
(784)#\[\begin{align}
\nabla \cdot \vec{B} = &\ 0
\\
\nabla \times \vec{E} = &\ - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\end{align}\]
规范冗余#
容易看到，场强张量在如下变换下是不变的
(785)#\[\begin{equation}
A_\mu(x) \rightarrow A_\mu (x) + \partial_\mu \Lambda(x)
\end{equation}\]
其中\(\Lambda(x)\)是任意实标量函数。四维势的这个自由度又称作规范对称性，或更准确的说称为规范冗余。称其为规范冗余的原因在于，物理的光子只有两个自由度，而\(A^\mu(x)\)包含了四个自由度。这四个自由度是为了协变的表示自旋为\(1\)的场，但不可避免地引入了冗余的物理自由度。后面我们将看到，量子化麦克斯韦场的一个主要挑战是如何处理规范冗余。
库伦规范下电磁场的量子化#
为了消除规范冗余，可以要求规范场满足如下条件：
(786)#\[\begin{equation}
\nabla \cdot \vec A(x) = 0
\end{equation}\]
这个条件称作库伦规范。这个规范条件总是可以实现。例如，假设一开始有
(787)#\[\begin{equation}
\nabla \cdot \vec A'(x) = f(x)
\end{equation}\]
则可以作一个规范变换：
(788)#\[\begin{equation}
\vec A'(x) \to \vec A(x) = \vec A'(x) - \nabla \Lambda(x)
\end{equation}\]
其中\(\Lambda(x)\)满足
(789)#\[\begin{equation}
\nabla^2 \Lambda(x) = f(x)
\end{equation}\]
这是一个泊松方程，总是可以解出\(\Lambda(x)\)。此时的规范场\(\vec A(x)\)满足库伦规范。在库伦规范下，运动方程变为
(790)#\[\begin{equation}
0 = \partial_\mu F^{\mu 0} = - \nabla^2 A^0 - \partial_0 \nabla \cdot \vec A
\end{equation}\]
因此给定\(\vec A\)的初始条件，可以完全解出\(A^0\)：
(791)#\[\begin{equation}
A^0(x) = - \frac{1}{\nabla^2} \partial_0 \nabla \cdot \vec A
\end{equation}\]
其中上式应在傅立叶变换的意义下理解：
(792)#\[\begin{equation}
A^0(\vec k) = \frac{i}{\vec k^2} \partial_0 \vec k \cdot \vec A(\vec k)
\end{equation}\]
代入库伦规范得到\(A^0 = 0\)。注意这是自由场下的解。当引入电荷时，\(A^0\)在库伦规范下将不再为零。
库伦规范下\(A_i\)的共轭动量为：
(793)#\[\begin{equation}
\pi^i(x) = \frac{\partial {\cal L}}{\partial \dot A_i} = - F^{0i} = E^i(x)
\end{equation}\]
因此容易想到一个自然的正则等时对易关系：
(794)#\[\begin{equation}
[A_i(\vec x), E^j(\vec y)] = i \delta_i^{j} \delta^3(\vec x - \vec y)
\end{equation}\]
或者
(795)#\[\begin{equation}
[A^i(\vec x), E^j(\vec y)] = - i \delta^{ij} \delta^3(\vec x - \vec y)
\end{equation}\]
然而这个对易关系与库伦规范并不逻辑自洽。如果我们在左侧作用投影算符
(796)#\[\begin{equation}
P_x^{ij} = \delta^{ij} - \frac{\partial_x^i \partial_x^j}{\nabla^2}
\end{equation}\]
对于库伦规范下的矢量场，有
(797)#\[\begin{equation}
P_x^{ij} A^j(x) = A^j(x)
\end{equation}\]
但上面的等时对易关系给出
(798)#\[\begin{equation}
[P_x^{ij} A^j(x), E^k(y)] = [A^i(x), E^k(y)] = - i P_x^{ik} \delta^3(\vec x - \vec y)
\end{equation}\]
即原有的等时对易关系在投影算符下并非不变的。为此我们定义新的等时对易关系为
(799)#\[\begin{equation}
[A^i(\vec x), E^j(\vec y)] = - i P_x^{ij} \delta^3(\vec x - \vec y)
\end{equation}\]
这将是我们量子化的出发点。
库伦规范下的模式展开#
在库伦规范下，\(\vec A\)所满足的运动方程为
(800)#\[\begin{equation}
0 = \partial_\mu F^{\mu i} = \partial_\mu \partial^\mu A^i - \partial^i \partial_\mu A^\mu = \partial^2 A^i
\end{equation}\]
因此\(A^i\)满足无质量的克莱因-戈登方程。它的实经典解可以写为
(801)#\[\begin{equation}
\vec A(x) = \vec \epsilon^* e^{-i kx} + \vec \epsilon e^{i kx} \,, \qquad k^2 = 0
\end{equation}\]
库伦规范约束给出
(802)#\[\begin{equation}
\nabla \cdot \vec A = 0 \Rightarrow \vec k \cdot \vec \epsilon = 0
\end{equation}\]
因此极化矢量\(\vec \epsilon\)只有两个自由度。如果\(\vec k = (0, 0, k)\)，不妨定义极化矢量为
(803)#\[\begin{equation}
\vec \epsilon_+(\vec k) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( 1, -i, 0) \,,
\vec \epsilon_-(\vec k) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( 1, +i, 0)
\end{equation}\]
读者可以验证，这两个解将对应右旋和左旋偏振。三元集\((\vec k, \vec \epsilon_+, \vec \epsilon_-)\)构成了三维空间的一组正交归一基，满足
(804)#\[\begin{equation}
\vec \epsilon_\pm^\dagger \cdot \vec \epsilon_\pm = 1 \,, \qquad
\vec \epsilon_\pm^\dagger \cdot \vec \epsilon_\mp = 0 \,, \qquad
\vec \epsilon_\pm \cdot \vec k = 0
\end{equation}\]
\(\vec \epsilon_\pm(\vec k)\)张开垂直于\(\vec k\)的一个平面，投影到这个平面的算符可以写为
(805)#\[\begin{equation}
P_{ij} = \sum_{\lambda = \pm} \vec \epsilon_{\lambda,i}^* (\vec k)\vec \epsilon_{\lambda, j}(\vec k) = \delta_{ij} - \frac{k_i k_j}{\vec k^2}
\end{equation}\]
在库伦规范下，我们可以将\(\vec A\)作模式展开为（相对论性归一化）
(806)#\[\begin{equation}
\vec A(\vec x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 \omega_k} \sum_{\lambda = \pm} \left[ \vec a_\lambda(\vec k) e^{- i k \cdot x} \vec \epsilon_\lambda^*(\vec k) + \vec a_\lambda^\dagger(\vec k) e^{i k \cdot x} \vec \epsilon_\lambda(\vec k) \right]
\end{equation}\]
其中\(\omega_k = | \vec k|\)。
利用极化矢量的正交归一关系，产生湮灭算符可以写为
(807)#\[\begin{align}
a_{\lambda}(\vec k) = &\ i \int d^3 x\, e^{ikx} \vec \epsilon_\lambda(\vec k) \cdot \overset{\leftrightarrow}{\partial}_0 \vec A(\vec x)
\\
a_{\lambda}^\dagger(\vec k) = &\ - i \int d^3 x\, e^{-ikx} \vec \epsilon_\lambda^*(\vec k) \cdot \overset{\leftrightarrow}{\partial}_0 \vec A(\vec x)
\end{align}\]
利用等时对易关系，可以求得产生湮灭算符所满足等时对易关系：
(808)#\[\begin{equation}
[a_\lambda(\vec k), a_{\lambda'}^\dagger(\vec k')] = \delta_{\lambda \lambda'} (2\pi)^3 2 \omega_k \delta^3(\vec k - \vec k')
\end{equation}\]
其它对易关系为零。
Fock空间#
库伦规范下规范场Fock空间具有简单明了的结构。首先，我们定义真空态\(|0\rangle\)满足
(809)#\[\begin{equation}
a_\lambda(\vec k) |0\rangle = 0
\end{equation}\]
单粒子态可以通过作用产生算符得到：
(810)#\[\begin{equation}
| \vec k, \lambda \rangle = a_\lambda^\dagger(\vec k) |0\rangle
\end{equation}\]
库伦规范的费曼传播子#
库伦规范下的费曼传播子定义为
(811)#\[\begin{equation}
\Delta_{ij}(x - y) = \langle 0 | T A_i(x) A_j(y) | 0 \rangle
\end{equation}\]
洛伦兹规范#
洛伦兹规范下，规范场满足
(812)#\[\begin{equation}
\partial_\mu A^\mu = 0
\end{equation}\]
在洛伦兹规范下，运动方程为
(813)#\[\begin{equation}
0 = \partial_\mu F^{\mu\nu} = \partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu \partial_\mu A^\mu = \partial^2 A^\nu
\end{equation}\]
因此\(A^\nu\)满足无质量的克莱因-戈登方程。实现洛伦兹规范固定的一个方便方法是对拉氏量作修改使其欧拉-拉格朗日方程与规范固定后的运动方程一致。为此，我们在拉氏量中添加一项规范固定项，它的作用是使得规范固定的运动方程可以直接从欧拉-拉格朗日方程得到。此时的作用量变为：
(814)#\[\begin{equation}
{\cal L}_{Maxwell+g.f.} = - \frac{1}{4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} - \frac{1}{2 \xi} (\partial_\mu A^\mu)^2
\end{equation}\]
而运动方程可以写为
(815)#\[\begin{equation}
\partial_\mu F^{\mu\nu} + \frac{1}{\xi} \partial^\nu \partial_\mu A^\mu = 0
\end{equation}\]
我们将看到这个运动方程在取\(\xi=1\)后与洛伦兹规范下的运动方程一致。 将\(F_{\mu\nu}\)展开后得到
(816)#\[\begin{equation}
\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu \partial_\mu A^\mu + \frac{1}{\xi} \partial^\nu \partial_\mu A^\mu = 0
\end{equation}\]
合并同类项后得到
(817)#\[\begin{equation}
\partial_\mu \partial^\mu A^\nu - \left( 1 - \frac{1}{\xi} \right) \partial^\nu \partial_\mu A^\mu = 0
\end{equation}\]
在\(\xi=1\)时，这个方程变为
(818)#\[\begin{equation}
\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0
\end{equation}\]
这正是洛伦兹规范固定下的运动方程。选取\(\xi =1\)又称作费曼规范。我们后文的讨论如不加说明将采用\(\xi = 1\)。
洛伦兹规范下的场量子化#
按照正则量子化的手续，我们定义矢量场的共轭动量为
(819)#\[\begin{equation}
\pi^\mu(x) = \frac{\partial {\cal L_{Maxwell+g.f.}}}{\partial \dot A_\mu}
\end{equation}\]
具体到分量上，有
(820)#\[\begin{equation}
\pi^0(x) = - \partial_\mu A^\mu
\,, \qquad
\pi^i(x) = F^{i0}(x) = \partial^i A^0(x) - \partial^0 A^i(x)
\end{equation}\]
注意到\(A_\mu\)到共轭动量为\(\pi^\mu\)，因此等时对易关系为
(821)#\[\begin{equation}
[A_\mu(t, \vec x), \pi^\nu (t, \vec y)] = i \delta_\mu^\nu \delta^3(\vec x - \vec y)
\end{equation}\]
或者
(822)#\[\begin{equation}
[A^\mu(t, \vec x), \pi^\nu (t, \vec y)] = i \eta^{\mu\nu} \delta^3(\vec x - \vec y)
\end{equation}\]
其它对易关系为零。
洛伦兹规范下的运动方程
(823)#\[\begin{equation}
\Box A^\mu(x) = \partial^\nu \partial_\nu A^\mu(x) = 0
\end{equation}\]
与四组无质量克莱因-戈登方程一致。因此我们可以将\(A^\mu\)作模式展开为
(824)#\[\begin{equation}
A^\mu(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 \omega_k} \sum_{\lambda = 0}^3 \epsilon_\lambda^\mu(\vec k) \left[ a_\lambda(\vec k) e^{- i k \cdot x} + a_\lambda^\dagger(\vec k) e^{i k \cdot x} \right]
\end{equation}\]
其中\(\omega_k = k^0 = |\vec k|\)。为了保持指标平衡，我们还引入费曼规范下的极化矢量
(825)#\[\begin{equation}
\epsilon_{0, \mu} = \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\,, \qquad
\epsilon_{1, \mu} = \begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\,, \qquad
\epsilon_{2, \mu} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
\,, \qquad
\epsilon_{3, \mu} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\end{equation}\]
对应的将洛伦兹指标提升后的极化矢量为
(826)#\[\begin{equation}
\epsilon_{0}^\mu = \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\,, \qquad
\epsilon_{1}^\mu = \begin{pmatrix}
0 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
\,, \qquad
\epsilon_{2}^\mu = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
\,, \qquad
\epsilon_{3}^\mu = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}
\end{equation}\]
它们满足如下关系：
(827)#\[\begin{equation}
\epsilon_{\lambda}^\mu \epsilon_{\lambda'}^\nu \eta_{\mu\nu} = \eta_{\lambda\lambda'}
\end{equation}\]
利用这个关系可以求出矢量场产生湮灭算符的对易关系。
简单的计算可以证明，产生湮灭算符可以写为
(828)#\[\begin{align}
a_{\lambda}(\vec k) = &\ i \int d^3 x \, \epsilon_\lambda^\mu(\vec k) \eta^{\lambda \lambda} e^{i kx } \overset{\leftrightarrow}{\partial}_0 A_\mu(x)
\\
a_{\lambda}^\dagger(\vec k) = &\ i \int d^3 x \, A^{\mu}(x) \overset{\leftrightarrow}{\partial}_0 e^{-i kx } \epsilon_{\lambda, \mu}(\vec k)\eta^{\lambda \lambda}
\end{align}\]
注意此处的极化指标\(\lambda\)不作求和。利用这个关系，可以验证
(829)#\[\begin{equation}
[a_\lambda(\vec k), a_{\lambda'}(\vec k')] = 0
\end{equation}\]
(830)#\[\begin{equation}
[a_\lambda^\dagger(\vec k), a_{\lambda'}^\dagger(\vec k')] = 0
\end{equation}\]
剩余的对易关系我们通过如下的计算得到。首先从等时对易关系
(831)#\[\begin{equation}
[A_\mu(t, \vec x), A_\nu (t, \vec y)] = 0
\end{equation}\]
得到如下等式
(832)#\[\begin{equation}
[ \partial^i A_\mu(t, \vec x), A_\nu (t, \vec y)] = 0
\end{equation}\]
进一步得到下述等式：
(833)#\[\begin{align}
[A^0(t, \vec x), \pi^0(t, \vec x)] = &\ [A^0, - \dot A^0 + \partial_i A^i] = - [ A^0, \dot A^0] = i \delta^{(3)} (\vec x - \vec y)
\\
[A^i(t, \vec x), \pi^0(t, \vec y)] = &\ 0 = [A^0, \dot A^0]
\\
[A^0(t, \vec x), \pi^i(t, \vec y)] = &\ [A^0, \partial^i A^0 - \partial^0 A^i] = - [A^0, \dot A^i] = 0
\\
[A^i(t, \vec x), \pi^j(t, \vec y)] = &\ [A^i, \partial^j A^0 - \partial^0 A^j] = - [A^i, \dot A^j] = i \eta^{ij} \delta^{(3)} (\vec x - \vec y)
\end{align}\]
上面的四个关系又可以统一写为：
(834)#\[\begin{equation}
[A^\mu(t, \vec x), \dot A^\nu(t, \vec y)] = - i \eta^{\mu\nu} \delta^{(3)} (\vec x - \vec y)
\end{equation}\]
利用这个结果，可以求出产生湮灭算符的对易关系：
(835)#\[\begin{align}
[a_\lambda(\vec p), a_{\lambda'}(\vec q)] = &\
i^2 \int d^3 x\, \epsilon_\lambda^\mu(\vec p) \eta^{\lambda \lambda}
\int d^3 y \, \epsilon_{\lambda'}^\nu (\vec q) \eta^{\lambda' \lambda'}
\\
&\ \times e^{i px - i qy} \Big[ \dot A_\mu (x) - i p^0 A_\mu(x) , -iq^0 A_\nu(y) - \dot A_\nu(y) \Big]
\\
=&\ (-1) \int d^3 x\, \epsilon_\lambda^\mu(\vec p) \eta^{\lambda \lambda}
\int d^3 y \, \epsilon_{\lambda'}^\nu (\vec q) \eta^{\lambda' \lambda'}
e^{i px - i qy}
\\
&\ \times e^{i px - i qy} \Big(
-i q^0 i \eta_{\mu \nu} - i p^0 i \eta_{\mu\nu}
\Big) \delta^{(3)}(\vec x - \vec y)
\\
=&\ -(2 \pi)^3 2 p^0 \eta_{\lambda \lambda'} \delta^{(3)}(\vec p - \vec q)
\end{align}\]
我们注意到当\(\lambda = \lambda' = 0\)时，
(836)#\[\begin{equation}
[a_0(\vec p), a_0^\dagger(\vec q)] = - (2 \pi)^3 2 p^0 \delta^{(3)}(\vec p - \vec q)
\end{equation}\]
右侧出现的负号意味着\(\lambda=0\)所对应的极化态是非物理的。例如，考虑\(a_0^\dagger\)所产生的单粒子态，
(837)#\[\begin{equation}
|k, 0 \rangle = a_0^\dagger(\vec k) |0\rangle
\end{equation}\]
这个态具有负模长：
(838)#\[\begin{equation}
\langle q, 0 | k, 0 \rangle = \langle 0 | a_0(\vec q) a_0^\dagger(\vec k) | 0 \rangle = - (2 \pi)^3 2 k^0 \delta^{(3)}( \vec q - \vec k) < 0
\end{equation}\]
因此不能作为物理态存在。
另外，无质量矢量粒子（例如光子）仅有两个物理自由度，而\(a_1^\dagger(\vec k)\)，\(a_2^\dagger(\vec k)\)，\(a_3^\dagger(\vec k)\)可以产生三个不同的物理态，因此其中必有一个是非物理的。为了回避非物理态的贡献，可以引入Guptar-Bleuler条件：对于任意的物理态\(|\psi_T\rangle\)和\(|\phi_T \rangle\)，其中下标\(T\)代表物理态，有
(839)#\[\begin{equation}
\langle \psi_T | \partial_\mu A^\mu |\phi_T \rangle = 0
\end{equation}\]
将\(A^\mu\)用模式展开代入，得到
(840)#\[\begin{equation}
\int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3 2 \omega_k} \sum_{\lambda = 0}^3 i k_\mu \epsilon_\lambda^\mu(\vec k) \langle \psi_T | a_{\lambda}(\vec k) - a_{\lambda}^\dagger(\vec k) |\phi_T \rangle = 0
\end{equation}\]
或者分别写为
(841)#\[\begin{equation}
\sum_{\lambda = 0}^3 k_\mu \epsilon_\lambda^\mu(\vec k) a_{\lambda}(\vec k) |\phi_T \rangle = 0 \,, \qquad \forall k
\end{equation}\]
以及
(842)#\[\begin{equation}
\sum_{\lambda = 0}^3 k_\mu \epsilon_\lambda^\mu(\vec k) \langle \psi_T | a_{\lambda}^\dagger(\vec k) = 0 \,, \qquad \forall k
\end{equation}\]
为了看出Guptar-Bleuler条件确实可以排除非物理态对物理量的贡献，不妨考虑自由矢量场的哈密顿量：
(843)#\[\begin{equation}
H = \int d^3 x \, {\cal H}(x) = \int^3 d^3x ( \pi^\mu \dot A_\mu - {\cal L}_{Maxwell+g.f.})
\end{equation}\]
通过计算可以发现：
(844)#\[\begin{equation}
:H: = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 \omega_k} \omega_k \left[ \sum_{\lambda = 1}^3 a_\lambda^\dagger(\vec k) a_\lambda(\vec k) -a_0^\dagger(\vec k) a_0(\vec k) \right]
\end{equation}\]
不妨设\(k^\mu = (k^0, 0, 0, k^0)\)，则Guptar-Bleuler条件可以写为
(845)#\[\begin{equation}
(a_0(\vec k) + a_3(\vec k)) | \phi_T \rangle = 0\,, \qquad \langle \psi_T|
(a_0^\dagger(\vec k) + a_3^\dagger(\vec k)) = 0
\end{equation}\]
方括号中的量在物理态\(|\psi_T\rangle\)中的矩阵元可以写为
(846)#\[\begin{align}
\langle \psi_T | \left[ \sum_{\lambda = 1}^3 a_\lambda^\dagger(\vec k) a_\lambda(\vec k) - a_3^\dagger(\vec k)a_0(\vec k) \right] | \psi_T \rangle
=&\ \langle \psi_T | \left[ \sum_{\lambda = 1}^3 a_\lambda^\dagger(\vec k) a_\lambda(\vec k) - (-a_3^\dagger(\vec k)) (- a_3(\vec k)) \right] | \psi_T \rangle
\\
=&\ \langle \psi_T | \left[ \sum_{\lambda = 1}^2 a_\lambda^\dagger(\vec k) a_\lambda(\vec k) \right] | \psi_T \rangle
\end{align}\]
而
(847)#\[\begin{equation}
{\cal N}(\vec k) = \left[ \sum_{\lambda = 1}^2 a_\lambda^\dagger(\vec k) a_\lambda(\vec k) \right]
\end{equation}\]
可以理解为物理态中动量模式为\(\vec k\)的态数目算符。因此，\(:H:\)在物理态中确实给出物理自由度的总能量。
最后，我们求一下协变费曼规范下的矢量场传播子，
(848)#\[\begin{align}
\langle 0 | T \{A_\mu(x) A_\nu(y) \} | 0 \rangle = &\
\theta(x^0 - y^0) \langle 0 | A_\mu(x) A_\nu(y) | 0 \rangle + \theta(y^0 - x^0) \langle 0 | A_\nu(y) A_\mu(x) | 0 \rangle
\end{align}\]
而
(849)#\[\begin{align}
\langle 0 | A^\mu(x) A^\nu(y) | 0 \rangle = &\
\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 \omega_k}
\int \frac{d^3 k'}{(2\pi)^3 2 \omega_{k'}} \sum_{\lambda, \lambda'} \epsilon_\lambda^\mu(\vec k) \epsilon_{\lambda'}^\nu(\vec k') \langle 0 | a_\lambda(\vec k) a_{\lambda'}^\dagger(\vec k) | 0 \rangle e^{-i kx + i k' y}
\\
=&\
\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 \omega_k} \sum_{\lambda, \lambda'} \epsilon_\lambda^\mu(\vec k) \epsilon_{\lambda'}^\nu(\vec k') (-\eta_{\lambda \lambda'}) e^{-i k(x - y)}
\\
=&\
- \eta^{\mu\nu} \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3 2 \omega_k} e^{-i k(x - y)}
\end{align}\]
结合正时序和反时序部分就得到
(850)#\[\begin{equation}
\langle 0 | T\{A_\mu(x) A_\nu(y) \} | 0 \rangle = \int \frac{d^4 k}{(2\pi)^4} \frac{-i \eta_{\mu\nu}}{k^2 + i \epsilon} e^{-i k \cdot (x - y)}
\end{equation}\]