自由实标量场的分立对称性
我们的出发点是实标量场的拉氏量
(716)\[\begin{equation}
{\cal L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\end{equation}\]
我们已研究过该拉氏量的连续对称变换，如时空平移对称性洛伦兹对称性。例如，对于洛伦兹对称性，实标量场构成洛伦兹群的平庸表示：
(717)\[\begin{equation}
U_{\Lambda}^{-1} \phi(x) U_{\Lambda} = \phi(\Lambda^{-1} x)
\end{equation}\]
对于分立变化\(D=P, T\)，我们希望\(\phi(x)\)在\(D\)的变换下同样构成群表示
(718)\[\begin{equation}
D \phi(x) D^{-1} = R(D) \phi(D x)
\end{equation}\]
我们的任务是对\(P\)和\(T\)分别寻求其表示。
宇称变换
设在宇称变换下有
(719)\[\begin{equation}
P \phi(x) P^{-1} = \eta_P \phi(P x)
\end{equation}\]
其中\(\eta_P\)为未定复数。我们希望宇称变换下拉氏量不变，即要求
(720)\[\begin{equation}
P{\cal L}(x)P^{-1} = {\cal L}(P x)
\end{equation}\]
分别作用到质量项和动能项上，给出如下约束
(721)\[\begin{align}
P \phi^2(x) P^{-1} = \eta_P^2 \phi^2(P x) \quad &\Rightarrow \quad \eta_P^2 = 1 \\
P \partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x) P^{-1} = \eta_P^2 \partial_\mu \phi(P x) \partial^\mu \phi(P x) \quad &\Rightarrow \quad \eta_P^2 = 1
\end{align}\]
其中利用了
(722)\[\begin{split}
\begin{equation}
P \partial_\mu \phi(x) P^{-1} = (-1)^\mu \partial_\mu \phi(P x) \,, \quad (-1)^\mu = \begin{cases}
1 & \mu = 0 \\
-1 & \mu = 1, 2, 3
\end{cases}
\end{equation}
\end{split}\]
从\(\eta_P^2 = 1\)得到\(\eta_P = \pm 1\)。当\(\eta_P = -1\)时，我们称这是一个赝玻色子。注意到这两种可能性无法通过自由拉氏量确定，而需通过相互作用项或实验进一步判定。
时间反演变换
时间反演变换无法通过幺正线性变换实现。例如，量子力学中的基本对易关系
(723)\[\begin{equation}
[\hat x, \hat p] = i
\end{equation}\]
左边在时间反演下变为
(724)\[\begin{equation}
T[\hat x, \hat p]T^{-1} = - [\hat x, \hat p]
\end{equation}\]
为了使右边得到自洽结果，这要求
(725)\[\begin{equation}
T i T^{-1} = - i
\end{equation}\]
或者更一般的，对任意复数\(a\)，
(726)\[\begin{equation}
T a T^{-1} = a^*
\end{equation}\]
\(T\)被称作反幺正反线性算符。
设在时间反演变换实标量场变为
(727)\[\begin{equation}
T \phi(x) T^{-1} = \eta_T \phi(T x)
\end{equation}\]
其中\(\eta_T\)为未定复数。我们希望时间反演变换下拉氏量不变，即要求
(728)\[\begin{equation}
T{\cal L}(x)T^{-1} = {\cal L}(T x)
\end{equation}\]
分别作用到质量项和动能项上，给出如下约束
(729)\[\begin{align}
T \phi^2(x) T^{-1} = \eta_T^2 \phi^2(T x) \quad &\Rightarrow \quad \eta_T^2 = 1 \\
T \partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x) T^{-1} = \eta_T^2 \partial_\mu \phi(T x) \partial^\mu \phi(T x) \quad &\Rightarrow \quad \eta_T^2 = 1
\end{align}\]
其中利用了
(730)\[\begin{equation}
T \partial_\mu \phi(x) T^{-1} = - (-1)^\mu \partial_\mu \phi(T x)
\end{equation}\]
因此我们得到\(\eta_T = \pm 1\)。同样\(\eta_T\)的确定取值需有相互作用确定。
电荷共轭变换
由于实标量场不带电，因此无法定义电荷共轭变换。
自由复标量场的分立对称性
下面我们再来讨论如下自由复标量场的分立对称性：
(731)\[\begin{equation}
{\cal L} = \partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi - m^2 \phi^\dagger \phi
\end{equation}\]
宇称变换
设复标量场在宇称变换下有
(732)\[\begin{equation}
P \phi(x) P^{-1} = \eta_P \phi(P x) \,, \qquad P \phi^\dagger(x) P^{-1} = \eta_P^* \phi^\dagger(P x)
\end{equation}\]
其中\(\eta_P\)为未定复数。我们希望宇称变换下拉氏量不变，即要求
(733)\[\begin{equation}
P{\cal L}(x)P^{-1} = {\cal L}(P x)
\end{equation}\]
分别作用到质量项和动能项上，给出如下约束
(734)\[\begin{align}
P \phi^\dagger \phi(x) P^{-1} = \eta_P^* \eta_P \phi^\dagger \phi(P x) \quad &\Rightarrow \quad \eta_P^* \eta_P = 1 \\
P \partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi(x) P^{-1} = \eta_P^* \eta_P \partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi(P x) \quad &\Rightarrow \quad \eta_P^* \eta_P = 1
\end{align}\]
因此\(\eta_P = e^{i \alpha_P}\)为一个纯粹相位。其相位值需通过相互作用项确定。
时间反演变换
复标量场的时间反演变换定义作
(735)\[\begin{equation}
T \phi(x) T^{-1} = \eta_T \phi(T x) \,, \qquad T \phi^\dagger(x) T^{-1} = \eta_T^* \phi^\dagger(T x)
\end{equation}\]
与宇称变换类似，我们得到约束
(736)\[\begin{equation}
\eta_T^* \eta_T = 1
\end{equation}\]
电荷共轭变换
针对复标量场可以定义一个新的与空时坐标无关的分立变换：
(737)\[\begin{equation}
C \phi(x) C^{-1} = \eta_C \phi^\dagger(x) \,, \qquad C \phi^\dagger(x) C^{-1} = \eta_C^* \phi(x)
\end{equation}\]
拉氏量在\(C\)变换下的不变性要求
(738)\[\begin{equation}
\eta_C \eta_C^* = 1
\end{equation}\]
因此\(\eta_C = e^{i \alpha_C}\)也是一个纯粹相位。但注意到，对于存在\(U(1)\)内部对称性的复标量场，如对场作如下重新定义：
(739)\[\begin{equation}
\phi'(x) = e^{- i \alpha_C/2} \phi(x) \,, \qquad \phi'^\dagger(x) = e^{i \alpha_C/2} \phi^\dagger(x)
\end{equation}\]
则\(C\)变换变为
(740)\[\begin{equation}
C \phi'(x) C^{-1} = \phi'^\dagger(x) \,, \qquad C \phi'^\dagger(x) C^{-1} = \phi'(x)
\end{equation}\]
即重定义后的场具有\(\eta_C = 1\)。
自由狄拉克场
下面我们讨论自由狄拉克场：
(741)\[\begin{equation}
{\cal L} = \bar \psi (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi
\end{equation}\]
宇称变换
不失一般性设狄拉克场在宇称变换下有
(742)\[\begin{equation}
P \psi(x) P^{-1} = U_P \psi(P x)
\end{equation}\]
其中\(U_P\)为待定的\(4 \times 4\)矩阵。注意到宇称变换是幺正变换(维格纳证明，分立对称性只能通过幺正线性变换或反幺正反线性变换实现)，因此\(U_P U_P^\dagger = 1\)。我们希望宇称变换下拉氏量不变，即要求
(743)\[\begin{equation}
P{\cal L}(x)P^{-1} = {\cal L}(P x)
\end{equation}\]
仅从质量项看，我们要求
(744)\[\begin{equation}
P \bar \psi(x) \psi(x) P^{-1} = P\bar \psi(P x)P^{-1} U_P \psi(P x) = \bar \psi(P x) \psi(P x)
\end{equation}\]
即要求
(745)\[\begin{equation}
P \bar \psi(x) P^{-1} = \bar \psi(P x) U_P^{-1}
\end{equation}\]
但同时
(746)\[\begin{equation}
P \bar \psi(x) P^{-1} = P \psi^\dagger(x) \gamma^0 P^{-1} = (U_P \psi(Px))^\dagger \gamma^0 = \psi^\dagger(Px) U_P^\dagger \gamma^0
\end{equation}\]
因此我们得到\(U_P\)的一个约束
(747)\[\begin{equation}
U_P^\dagger \gamma^0 = \gamma^0 U_P^{-1}
\end{equation}\]
或者写成
(748)\[\begin{equation}
U_P^\dagger \gamma^0 U_P = U_P^{-1} \gamma^0 U_P = \gamma^0
\end{equation}\]
利用这个约束，动能项的宇称不变性给出
(749)\[\begin{equation}
P \bar \psi(x) i \gamma^\mu \partial_\mu \psi(x) P^{-1} = \bar \psi(P x) i U_P^{-1}\gamma^\mu U_P (-1)^\mu \partial_\mu \psi(P x)
\end{equation}\]
因此我们得到\(U_P\)的另一个约束
(750)\[\begin{equation}
U_P^{-1} \gamma^\mu U_P = (-1)^\mu \gamma^\mu
\end{equation}\]
其中\((-1)^{\mu}\)的定义见方程(722)。这两个约束可以统一写为
(751)\[\begin{equation}
[U_P, \gamma^0] = 0 \,, \qquad \{U_P, \gamma^i\} = 0
\end{equation}\]
一个显然的解为
(752)\[\begin{equation}
U_P = \eta_P \gamma^0
\end{equation}\]
\(U_P\)的幺正性要求\(|\eta_P|=1\)，即是一个任意相位因子\(\eta_P = e^{i \alpha_P}\)。
因此狄拉克场的变换这时写为
(753)\[\begin{equation}
P \psi(x) P^{-1} = \eta_P \gamma^0 \psi(P x) \,, \qquad P \bar \psi(x) P^{-1} = \bar \psi(P x) \eta_P^* \gamma^0
\end{equation}\]
如无特殊说明，我们将取\(\eta_P = 1\)。
时间反演变换
下面我们将在外尔基下计算时间反演变换矩阵。
设狄拉克场在时间反演变换下有
(754)\[\begin{equation}
T \psi(x) T^{-1} = U_T \psi(T x)
\end{equation}\]
同样的，质量项的不变性要求
(755)\[\begin{equation}
U_T^\dagger \gamma^0 = \gamma^0 U_T^{-1}
\end{equation}\]
而动能项在时间反演下变为
(756)\[\begin{align}
T \bar \psi(x) i \gamma^\mu \partial_\mu \psi(x) T^{-1} = &\ (-i) \bar \psi(T x) U_T^{-1}\gamma^\mu U_T (-) (-1)^\mu \partial_\mu \psi(T x)
\\
= &\ i \bar \psi(T x) U_T^{-1} (\gamma^\mu)^* U_T (-1)^\mu \partial_\mu \psi(T x)
\end{align}\]
其中我们在第一行应用了
(757)\[\begin{equation}
T i T^{-1} = -i \,, \qquad T (-1)^\mu T^{-1} = (-) (-1)^\mu \,, \qquad T\gamma^\mu T^{-1} = (\gamma^\mu)^*
\end{equation}\]
这时我们得到约束
(758)\[\begin{equation}
U_T^\dagger \gamma^0 U_T = \gamma^0 \,, \qquad U_T^{-1} (\gamma^\mu)^* U_T = (-1)^\mu \gamma^\mu
\end{equation}\]
借助外尔基的具体性质，这又可以改写成
(759)\[\begin{equation}
U_T^\dagger \gamma^0 U_T = \gamma^0 \,, \qquad U_T\gamma^\mu U_T^{-1} = (\gamma^\mu)^T
\end{equation}\]
容易验证，任意单独的\(\gamma\)矩阵均无法满足上述约束
(760)\[\begin{equation}
U_T \neq \gamma^M \,, \qquad M = 0, 1, 2, 3, 5
\end{equation}\]
因此我们至少需要考虑两个\(\gamma\)矩阵的乘积，\(U_T^{\mu\nu} = \gamma^\mu \gamma^\nu\)。到这一步，不难直接分析出结果
(761)\[\begin{equation}
U_T = \eta_T \gamma^1 \gamma^3
\end{equation}\]
其中\(|\eta_T|=1\)是一个任意相位，不妨取作\(1\)。也可以用计算机程序直接枚举出可能满足约束的解，例如，如下Mathematica代码可以实现这一点：
Clear[\[Gamma]]
SetAttributes[\[Gamma], Listable]
\[Gamma][\[Mu]_] :=
If[\[Mu] == 0, KroneckerProduct @@ PauliMatrix[{1, \[Mu]}],
I KroneckerProduct @@ PauliMatrix[{2, \[Mu]}]]
Clear[\[Gamma]List]
\[Gamma]List[i_, j_] := \[Gamma][i] . \[Gamma][j];
CheckGamma[i_Integer, j_Integer] :=
Module[{result},
Print["Checking the gamma matrix product \[Gamma][", i, ",", j,
"]:"];
result =
And @@ Array[(Transpose[Conjugate[\[Gamma]List[i, j]]] . \[Gamma][
0] . \[Gamma]List[i, j] == \[Gamma][
0] && \[Gamma]List[i, j] . \[Gamma][#] .
Inverse[\[Gamma]List[i, j]] == Transpose[\[Gamma][#]]) &,
4, 0];
If[result,
Print[Style[
">>>Find matched result: " <>
ToString[Superscript["\[Gamma]", i], StandardForm] <>
ToString[Superscript["\[Gamma]", j], StandardForm] <> "<<<",
Red, FontSize -> 14]]
, Print["Fail to match the condition"]];];
Do[CheckGamma[i, j], {i, 0, 3}, {j, i + 1, 3}]
电荷共轭变换
仿照复标量场的电荷共轭变换，我们定义狄拉克场的电荷共轭变换为
(762)\[\begin{equation}
\psi^c(x) \equiv C \psi(x) C^{-1} = U_C \psi^*(x)
\end{equation}\]
狄拉克复共轭场变为
(763)\[\begin{equation}
C \bar \psi(x) C^{-1} = (U_C \psi^*(x))^\dagger \gamma^0 = \psi^T(x) U_C^\dagger \gamma^0
\end{equation}\]
这时质量项变为
(764)\[\begin{equation}
C \bar \psi(x) \psi(x) C^{-1} = \psi^T(x) U_C^\dagger \gamma^0 U_C \psi^*(x) = - \psi^\dagger(x) U_C^T \gamma^0 U_C^* \psi(x)
\end{equation}\]
其中最后一步我们取了转置，并利用了狄拉克旋量的反交换关系。因此我们得到\(U_C\)的约束
(765)\[\begin{equation}
U_C^T \gamma^0 U_C^* = - \gamma^0
\end{equation}\]
满足这个约束的单个gamma矩阵解包括：
(766)\[\begin{equation}
\gamma^1\,, \qquad \gamma^2\,, \qquad \gamma^3\,, \qquad \gamma^5
\end{equation}\]
而动能项的电荷共轭不变性要求
(767)\[\begin{equation}
C \bar \psi(x) i \gamma^\mu \partial_\mu \psi(x) C^{-1} = \psi^T(x) U_C^\dagger \gamma^0 i \gamma^\mu U_C \partial_\mu \psi^*(x) = \psi^\dagger(x) U_C^T (\gamma^\mu)^T i \gamma^0 U_C^* \partial_\mu \psi(x)
\end{equation}\]
其中第二个应用了转置，狄拉克旋量的反对易性，及分部积分。这就要求在满足第一个约束的解中，我们进一步有约束
(768)\[\begin{equation}
\gamma^0 U_C^T (\gamma^\mu)^T \gamma^0 U_C^* = \gamma^\mu
\end{equation}\]
容易验证，单个gamma矩阵的唯一解为
(769)\[\begin{equation}
U_C = \eta_C \gamma^2
\end{equation}\]
其中\(|\eta_C|=1\)是一个任意相位。借助\(U(1)\)对称性，我们可与选取\(\eta_C = -i\)。因此电荷共轭变换为
(770)\[\begin{equation}
\psi^c(x) = C \psi(x) C^{-1} = -i \gamma^2 \psi^*(x)
\end{equation}\]
其中我们称\(\psi^c(x)\)是\(\psi(x)\)的电荷共轭。这样定义的好处是，对于马约拉纳费米子\(\psi_M(x)\),
(771)\[\begin{equation}
\psi_M(x) = \begin{pmatrix}
\psi_L(x)
\\
i \sigma^2 \psi_L^*(x)
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
我们有关系
(772)\[\begin{equation}
\psi_M^c(x) = \psi_M(x)
\end{equation}\]
即马约拉纳费米子的电荷共轭就是其本身。
