群的表示
一个群\(G\)的表示指的是通过可逆线性映射实现的\(G\)在线性空间\(V\)上的作用。特别地，它们可以用来将群元素表示为可逆矩阵，使得群操作可以通过矩阵乘法来表示。将群元\(g\)的表示矩阵记为\(D(g)\)，则应有
(485)\[\begin{equation}
\forall g_1, g_2 \in G,\quad D(g_1)D(g_2) = D(g_1*g_2)
\end{equation}\]
以\(Z_2 = (\{1, -1\}, \times)\)群为例，它的一个表示是：
(486)\[\begin{equation}
V = \left\{
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\right\}
\end{equation}\]
(487)\[\begin{equation}
D^{(2)}(1) = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
D^{(2)}(-1) = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
这个表示的矩阵乘法满足\(Z_2\)群乘法的相同代数关系。这是一个二维表示，记为\(\text{dim}(D^{(2)}) = 2\)。
群表示的等价性
两个群表示\(D^{(1)}\)和\(D^{(2)}\)等价，当且仅当存在一个可逆线性变换\(S\)，使得
(488)\[\begin{equation}
D^{(1)}(g) = S^{-1}D^{(2)}(g)S \,, \quad \forall g \in G
\end{equation}\]
可约表示
如果存在一个可逆线性变换\(S\)，使得表示\(D(g)\)对于任意群元\(g\)可以写成块对角化的形式，则成表示\(D\)是可约的。反之则称其为不可约表示。
我们上面给出的\(Z_2\)群的二维表示是可约的，因为存在一个可逆线性变换
(489)\[\begin{equation}
S = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
使得
(490)\[\begin{equation}
S^{-1}D^{(2)}(1)S = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix},
\quad
S^{-1}D^{(2)}(-1)S = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
旋转群的表示
三维空间的旋转群定义为所有保持三维矢量模长不变的与单位元连通的旋转操作的集合，记为\(\text{SO(3)}\)：
(492)\[\begin{equation}
\text{SO(3)} = \{R \in \mathbb{R}^{3\times 3} | R^TR = I, \det(R) = 1\}
\end{equation}\]
绕三个坐标轴的旋转操作可以用矩阵表示为：
(493)\[\begin{equation}
R_1(\theta) = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta \\
0 & \sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix},
\quad
R_2(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta
\end{pmatrix},
\quad
R_3(\theta) = \begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0 \\
\sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
注意SO(3)的定义本身也是它的一个群表示实现，称为定义表示。
研究李群的一个重要工具是其无穷小生成元。对于SO(3)，我们可以定义三个无穷小生成员：
(494)\[\begin{equation}
L_1 = i \frac{dR_1(\theta)}{d\theta}\Big|_{\theta = 0}= i \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
L_2 = i \frac{dR_2(\theta)}{d\theta}\Big|_{\theta = 0}= i \begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\quad
L_3 = i \frac{dR_3(\theta)}{d\theta}\Big|_{\theta = 0}= i \begin{pmatrix}
0 & -1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
沿用物理学的习惯，我们定义的无穷小生成元是厄米的,\(L^\dagger = L\). 无穷小生成元在矩阵对易子下满足如下代数关系：
(495)\[\begin{equation}
[L_i, L_j] = i\epsilon_{ijk}L_k
\end{equation}\]
这个关系称作SO(3)的李代数，记作\(\mathfrak{so}(3)\)。SO(3)的李代数是一个三维李代数。
李代数包含了李群在单位元附近的信息，通过指数映射，我们可以将李代数的元素映射到李群的元素。对于SO(3)，指数映射为：
(496)\[\begin{equation}
\lim_{N \to \infty} \left( I - \frac{i L_i \theta}{N} \right)^N = e^{-i\theta L_i} = R_i(\theta)
\end{equation}\]
Haussdorf-Baker-Campbell定理
李代数的重要性的一个原因是通过指数映射，李代数决定了单位元附近的李群乘法信息。例如，给定两个SO(3)的元素
(497)\[\begin{equation}
R_a(\theta) = e^{-i \theta L_a} \,, \quad R_b(\theta) = e^{-i \theta L_b}
\end{equation}\]
有
(498)\[\begin{equation}
R_a(\theta) R_b(\theta) = e^{-i \theta L_a} e^{-i \theta L_b} = e^{-i \theta (L_a + L_b)} e^{-\frac{1}{2}\theta^2 [L_a, L_b]} + \mathcal{O}(\theta^3)\,,
\end{equation}\]
上式的最右边应用了Haussdorf-Baker-Campbell定理：
(499)\[\begin{equation}
e^A e^B = e^{A+B+\frac{1}{2}[A,B]+\frac{1}{12}([A,[A,B]]+[B,[B,A]])+\cdots}
\end{equation}\]
其核心是，两个矩阵指数的乘积，等于其矩阵和的指数，乘以高阶修正项，而修正项完全由对易子，也就是李代数关系给出。
这个关系提示我们，寻找李群的表示可以从寻找其李代数的表示出发，再通过指数映射得到。我们考虑的李代数通常是有限维的，这就大大简化了李群表示的寻找。
二维特殊酉群
二维特殊酉群\(SU(2)\)定义为所有行列式为1的二维复幺正矩阵的集合：
(500)\[\begin{equation}
SU(2) = \{U \in \mathbb{C}^{2\times 2} | U^\dagger U = I, \det(U) = 1\}
\end{equation}\]
一个任意的\(SU(2)\)群元可通过三个实参数\(\vec{\alpha} = (\alpha^1, \alpha^2, \alpha^3)\)表示为：
(501)\[\begin{equation}
U(\alpha^1, \alpha^2, \alpha^3) = e^{-i\alpha^i \sigma^i/2} = \cos\frac{\alpha}{2}I - i\sin\frac{\alpha}{2}\hat{n}\cdot\vec{\sigma}
\end{equation}\]
其中\(\alpha = | \vec{\alpha} |\)，\(\hat{n} = \vec{\alpha}/\alpha\)，\(\vec{\sigma}\)是Pauli矩阵：
(502)\[\begin{equation}
\sigma^1 = \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix},
\quad
\sigma^2 = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0
\end{pmatrix},
\quad
\sigma^3 = \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
容易验证
(503)\[\begin{equation}
U^\dagger (\vec\alpha) = U(-\vec\alpha) = U^{-1}(\vec\alpha)
\end{equation}\]
(504)\[\begin{equation}
\det(U) = e^{- i \frac{\vec \alpha}{2} \cdot \mathrm{Tr}(\vec \sigma)} = 1
\end{equation}\]
SU(2)的无穷小生成元为：
(505)\[\begin{equation}
S_i = i \frac{d U(\vec \alpha)}{d \alpha^i} \Big|_{\alpha^i = 0}
= \frac{1}{2} \sigma_i
\end{equation}\]
满足李代数关系
(506)\[\begin{equation}
[S_i, S_j] = i \epsilon_{ijk} S_k
\end{equation}\]
这个李代数与SO（3）的李代数一样，我们称作两个李代数同构
(507)\[\begin{equation}
\mathfrak{su}(2) \cong \mathfrak{so}(3)
\end{equation}\]
但李代数同构并不能给出两个群的同构关系。我们有如下结果：
SU(2)是SO(3)的双重覆盖
给定一个\(\mathbb{R}^3\)中的矢量\(\vec{x} = (x^1, x^2, x^3)\)，SO(3)变换是保长度的，且连续连通到单位元变换的旋转操作。定义无迹厄米矩阵
(508)\[\begin{equation}
\mathbb{A} = \sum_i x^i \sigma^i =
\begin{pmatrix}
x^3 & x^1 - i x^2 \\
x^1 + i x^2 & -x^3
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
则
(509)\[\begin{equation}
\det \mathbb{A} = - \vec{x}^2
\end{equation}\]
一个任意SU(2)矩阵\(U\)给出\(\mathbb{A}\)的保行列式变换：
(510)\[\begin{equation}
\mathbb{A} \to \mathbb{A}' = U \mathbb{A} U^\dagger
\end{equation}\]
满足
(511)\[\begin{equation}
\det \mathbb{A}' = \det U \det \mathbb{A} \det U^\dagger = \det \mathbb{A}
\end{equation}\]
(512)\[\begin{equation}
\mathrm{Tr} \mathbb{A}' = \mathrm{Tr} (U \mathbb{A} U^\dagger) = \mathrm{Tr} (U^\dagger U \mathbb{A}) = \mathrm{Tr} \mathbb{A}
\end{equation}\]
同时\(\mathbb{A}'\)仍是厄米矩阵
(513)\[\begin{equation}
\mathbb{A}'^\dagger = (U \mathbb{A} U^\dagger)^\dagger = U \mathbb{A}^\dagger U^\dagger = U \mathbb{A} U^\dagger = \mathbb{A}'
\end{equation}\]
因此可将\(\mathbb{A}'\)写为
(514)\[\begin{equation}
\mathbb{A}' = \sum_i x'^i \sigma^i =
\begin{pmatrix}
x'^3 & x'^1 - i x'^2 \\
x'^1 + i x'^2 & -x'^3
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
行列式的不变性给出
(515)\[\begin{equation}
\vec{x}^2 = \vec{x}'^2
\end{equation}\]
因此每一个\(U\)变换给出了一个\(\mathbb{R}^3\)中的旋转变换\(R\)。且\(U\)可连续连通到单位元，因此给出的是SO(3)变换。我们将此映射关系记作：
(516)\[\begin{equation}
U_R \to R
\end{equation}\]
同时，\((-U_R)\)也给出一个SO(3)中的同一个旋转变换\(R\)：
(517)\[\begin{equation}
\mathbb{A}' = (- U_R) \mathbb{A} (- U_R)^\dagger = U_R \mathbb{A} U_R^\dagger = \mathbb{A}
\end{equation}\]
因此
(518)\[\begin{equation}
- U_R \to R
\end{equation}\]
但\(U_R\)和\(-U_R\)为两个不同的SU(2)矩阵。这表明，存在SU(2)到SO(3)的二到一覆盖映射。我们称SU(2)是SO(3)的双重覆盖。
这是一个重要的事实。量子力学中对称变换可以实现为态空间中的线性幺正（或反线性反幺正）变换。设\(g_1\)和\(g_2\)是哈密顿量对称群\(G\)的两个对称变换，则寻找该量子力学系统的实现等价于寻找\(G\)的所有投影表示\(U(g)\)
(519)\[\begin{equation}
U(g_1) U(g_2) = e^{i \phi(g_1, g_2)} U(g_1 g_2)
\end{equation}\]
其中纯相位因子\(e^{i \phi(g_1, g_2)}\)允许存在的原因是量子力学中无法区分相差一个纯粹相位的两个态矢\(|\psi \rangle\)和\(e^{i\alpha} | \psi \rangle\)。
对于旋转不变的量子力学系统，其对称群是SO(3)。因此我们需要寻找SO(3)的所有投影表示。
一个重要的数学事实是（证明从略），SO(3)的所有不可约有限维投影表示由\(SU(2)\)的不可约有限维正常表示给出。因此，我们只需要寻找\(SU(2)\)的不可约有限维正常表示。
\(SU(2)\)的不可约有限维表示
\(SU(2)\)的一个最简单非平庸表示是自旋\(1/2\)表示，也称作旋量表示，记作\(D^{(1/2)}\).它的一些性质：
(520)\[\begin{equation}
\psi_1 = \begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix},
\quad
\psi_2 = \begin{pmatrix}
0 \\
1
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
(521)\[\begin{equation}
U_R(\hat{n}, \theta) = e^{-i S_k \hat{n}^k \theta} = \cos\frac{\theta}{2}I - i\sin\frac{\theta}{2}\hat{n}\cdot\vec{\sigma}
\end{equation}\]
(522)\[\begin{equation}
J^2 = \sum_k S_k^2
\end{equation}\]
(523)\[\begin{equation}
J^2 \psi_1 = J^2 \psi_2 = \frac{3}{4} \psi = J (J+1) \psi \to J = \frac{1}{2}
\end{equation}\]
(524)\[\begin{equation}
J_z \psi_1 = \frac{1}{2} \psi_1, \quad J_z \psi_2 = - \frac{1}{2} \psi_2
\end{equation}\]
(525)\[\begin{equation}
J_\pm = J_1 \pm i J_2
\end{equation}\]
更一般的，SU(2)存在自旋\(S\)的不可约表示，其中\(S=n/2\)为半整数或整数，其表示维数是\(\text{dim} D^{(S)} = 2S+1\)，角动量\(z\)分量取值为
(526)\[\begin{equation}
\{-S, -S+1, \cdots, S-1, S\}
\end{equation}\]
两个不可约表示的直积可以写成可约表示的直和，
(527)\[\begin{equation}
D^{(S_1)} \otimes D^{(S_2)} = \bigoplus_{S=|S_1-S_2|}^{S_1+S_2} D^{(S)}
\end{equation}\]
直和分解的系数由克莱布施-戈登系数给出。
