狄拉克场的量子化#
自旋统计联系#
自由狄拉克场的量子化#
首先回忆自由狄拉克方程的经典解可以写为
(671)#\[\begin{equation}
\psi = u_p e^{-ip\cdot x} + v_p e^{ip\cdot x}
\end{equation}\]
其中正频和负频部分的系数为
(672)#\[\begin{equation}
u_p^s = \begin{pmatrix}
\sqrt{p\cdot \sigma} \xi^s \\
\sqrt{p\cdot \bar\sigma} \xi^s
\end{pmatrix}, \quad
v_p^s = \begin{pmatrix}
\sqrt{p\cdot \sigma} \xi^s \\
-\sqrt{p\cdot \bar\sigma} \xi^s
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
其中
(673)#\[\begin{equation}
\xi^1 = \begin{pmatrix}
1 \\ 0
\end{pmatrix}, \quad
\xi^2 = \begin{pmatrix}
0 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
狄拉克场的模式展开写为（相对论性归一化下）
(674)#\[\begin{equation}
\psi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2 \omega_p} \sum_s \left( a_p^s u_p^s e^{-ip\cdot x} + b_p^{s\dagger} v_p^s e^{ip\cdot x} \right)
\end{equation}\]
其中\(\omega_p = p^0 = \sqrt{\vec p^2 + m^2}\)。 相应的还有
(675)#\[\begin{equation}
\bar \psi(x) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2 \omega_p} \sum_s \left( \bar u_p^s a_p^{s, \dagger} e^{ip\cdot x} + \bar v_p^s b_p^{s} e^{-ip\cdot x} \right)
\end{equation}\]
注意到仅有\(\psi\)的共轭动量是非零的：
(676)#\[\begin{equation}
\pi(x) = \frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot \psi} = i \psi^\dagger = i \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3 2 \omega_p} \sum_s \left( u_p^{s,\dagger} a_p^{s, \dagger} e^{ip\cdot x} + v_p^{s,\dagger} b_p^{s} e^{-ip\cdot x} \right)
\end{equation}\]
场的等时正则反对易关系写为（这里采用反对易关系源于自旋统计定理的要求）
(677)#\[\begin{equation}
\{ \psi_\alpha(t, \vec x), \pi_\beta(t, \vec y) \} = i \delta^3(\vec x - \vec y) \delta_{\alpha \beta}
\end{equation}\]
或者写成
(678)#\[\begin{equation}
\{\psi_\alpha(t, \vec x), \psi_\beta^\dagger(t, \vec y) \} = \delta^3(\vec x - \vec y) \delta_{\alpha \beta}
\end{equation}\]
其余反对易关系为零。
利用旋量场的正交条件：
(679)#\[\begin{equation}
u^{r,\dagger}(p) u^s(p) = 2 \omega_p \delta^{rs}, \quad v^{r,\dagger}(p) v^s(p) = 2 \omega_p \delta^{rs}
\end{equation}\]
以及
(680)#\[\begin{equation}
u^{r,\dagger}(p^0, \vec{p}) v^s(p^0, - \vec{p}) = 0 \quad
v^{r,\dagger}(p^0, \vec{p}) u^s(p^0, - \vec{p}) = 0
\end{equation}\]
可以发现费米子的产生和湮灭算符可写为：
(681)#\[\begin{equation}
a_{k}^s = \int d^3 x \, e^{i k \cdot x} u_k^{s,\dagger} \psi(x), \quad
a_{k}^{s,\dagger} = \int d^3 x \, e^{-i k \cdot x} \psi^\dagger(x) u_k^{s}
\end{equation}\]
利用场的反对易关系，可以得到费米子的产生湮灭算符满足反对易关系：
(682)#\[\begin{equation}
\{ a_{k}^s, a_{k'}^{s,\dagger} \} = (2\pi)^3 2 \omega_k \delta^3(\vec k - \vec k') \delta^{ss}
\end{equation}\]
而其它反对易子为零。
同样的，对于反费米子有
(683)#\[\begin{equation}
b_{k}^s = \int d^3 x \, e^{i k \cdot x} \psi^\dagger(x) v_k^s, \quad
b_{k}^{s,\dagger} = \int d^3 x \, e^{-i k \cdot x} v_k^{s,\dagger} \psi(x)
\end{equation}\]
通过计算可以发现反费米子的产生湮灭算符满足反对易关系：
(684)#\[\begin{equation}
\{ b_{k}^s, b_{k'}^{s,\dagger} \} = (2\pi)^3 2 \omega_k \delta^3(\vec k - \vec k') \delta^{ss}
\end{equation}\]
而其它反对易子为零。
狄拉克场的Fock空间#
狄拉克场的Fock空间的构造与实标量场的Fock空间的构造类似，只是需要考虑自旋的影响。用费米子产生算符作用到真空上得到单粒子态：
(685)#\[\begin{equation}
|p, s \rangle = a_{p}^{s,\dagger} | 0 \rangle
\end{equation}\]
对于双粒子态，有
(686)#\[\begin{equation}
|p_1, s_1; p_2, s_2 \rangle = a_{p_1}^{s_1,\dagger} a_{p_2}^{s_2,\dagger} | 0 \rangle
\end{equation}\]
注意到由于反对易关系，当\(s_1 \neq s_2\)，或\(p_1 \neq p_2\)时，有
(687)#\[\begin{equation}
|p_1, s_1; p_2, s_2 \rangle = - |p_2, s_2; p_1, s_1 \rangle
\end{equation}\]
泡利不相容原理体现为
(688)#\[\begin{equation}
a_p^{s,\dagger} a_p^{s,\dagger} | 0 \rangle = 0
\end{equation}\]
即不存在具有全同动量和极化的双粒子态。 对于反费米子有类似构造。
狄拉克场的哈密顿量#
狄拉克场的哈密顿量密度为
(689)#\[\begin{equation}
{\cal H} = \pi \dot \psi - {\cal L} = \bar \psi (-i \vec \gamma \cdot \nabla + m) \psi
\end{equation}\]
而哈密顿量为
(690)#\[\begin{equation}
H = \int d^3 x \, {\cal H} = \int d^3 x \, \bar \psi (-i \vec \gamma \cdot \nabla + m) \psi
\end{equation}\]
将狄拉克场的模式展开代入得到
(691)#\[\begin{align}
H = &\ \int d^3x \int \frac{d^3 p}{( 2 \pi)^3 2 \omega_p}
\sum_s \left( a_{p,s}^\dagger \bar u_p^s e^{ipx} + b_{p,s} \bar v_p^s e^{ipx} \right)
\\
&\ \cdot \left( -i \vec \gamma \cdot \nabla + m \right)
\\
&\ \cdot \int \frac{d^3 q}{( 2 \pi)^3 2 \omega_q} \sum_{s'} \left( a_{q,s'} u_q^{s'} e^{-iqx} + b_{q,s'}^\dagger v_q^{s'} e^{-iqx} \right)
\end{align}\]
在上式中，借助正交关系，可以计算得到
(692)#\[\begin{align}
:H: = &\ \int d^3x \int \frac{d^3 p}{( 2 \pi)^3 2 \omega_p}
\omega_p \sum_s \left( a_{p,s}^\dagger a_{p,s} + b_{p,s}^\dagger b_{p,s} \right)
\end{align}\]
自由狄拉克场的守恒流#
电荷算符#
狄拉克场的拉氏量具有整体\(U(1)\)对称性：
(693)#\[\begin{equation}
\psi(x) \to e^{ - i \alpha} \psi(x), \quad \psi^\dagger(x) \to e^{i \alpha} \psi^\dagger(x)
\end{equation}\]
其中\(\alpha\)为任意常数。对应的守恒流为
(694)#\[\begin{equation}
j^\mu = - i \frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_\mu \psi)} = \bar \psi \gamma^\mu \psi
\end{equation}\]
守恒荷为
(695)#\[\begin{equation}
Q = \int d^3 x j^0 = \int d^3 x \bar \psi \gamma^0 \psi
\end{equation}\]
将模式展开代入，得到
(696)#\[\begin{equation}
:Q: = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s \left( a_{p,s}^\dagger a_{p,s} - b_{p,s}^\dagger b_{p,s} \right)
\end{equation}\]
因此，\(a_{p,s}^\dagger\)和\(b_{p,s}^\dagger\)分别对应正电粒子和负电粒子的产生算符。
角动量#
定义场的洛伦兹变换算符：
(697)#\[\begin{equation}
U(\omega) = \exp \left( - \frac{i}{2} \omega_{\mu \nu} M^{\mu \nu} \right)
\end{equation}\]
其中\(M_{\mu\nu}\)是洛伦兹变换生成元，\(\omega_{\mu\nu}\)是洛伦兹变换参数。在洛伦兹变换下，狄拉克场变为
(698)#\[\begin{equation}
U^{-1}(\omega) \psi(x) U(\omega) = \Lambda_{1/2} (\omega) \psi(\Lambda^{-1} x)
\end{equation}\]
其中
(699)#\[\begin{equation}
\Lambda_{1/2} (\omega) = \exp \left( - \frac{i}{2} \omega_{\mu\nu} S^{\mu\nu} \right)
\end{equation}\]
\(\Lambda^{\mu}_{\ \nu} = \delta^\mu_{\ \nu} + \omega^\mu_{\ \nu}\)是洛伦兹变换矩阵，\(S^{\mu\nu} = \frac{i}{4} [\gamma^\mu, \gamma^\nu]\)。 定义
(700)#\[\begin{equation}
\Lambda_{1/2} (\omega) \psi(\Lambda^{-1} x) = \psi(x) + \frac{1}{2}\omega_{\mu\nu} \delta\psi^{\mu\nu}
\end{equation}\]
其中\(\omega_{\mu\nu}\)是反对称张量。 容易求得
(701)#\[\begin{equation}
\delta \psi^{\mu\nu} = \left[ (x^\mu \partial^\nu - x^\nu \partial^\mu) - i S^{\mu\nu} \right] \psi(x)
\end{equation}\]
其中方括号中第一项与轨道角动量有关，第二项与自旋有关。 用洛伦兹变换算符\(M^{\mu\nu}\)表示，则有
(702)#\[\begin{equation}
i \left[M^{\mu\nu}, \psi(x)\right] = \left( (x^\mu \partial^\nu - x^\nu \partial^\mu) - i S^{\mu\nu} \right) \psi(x)
\end{equation}\]
这时得到六个不同的守恒流
(703)#\[\begin{equation}
J^{\rho, \mu\nu} = \frac{\partial {\cal L}}{\partial(\partial_\rho \psi)} \delta\psi^{\mu\nu} = i \bar\psi \gamma^\rho \delta\psi^{\mu\nu}
\end{equation}\]
自旋算符可以写为
(704)#\[\begin{equation}
S^i = \frac{1}{2} \epsilon^{ijk} \int d^3x J^{0, jk}(x) = \frac{1}{2} \int^3 \psi^\dagger \epsilon^{ijk} S^{jk} \psi
\end{equation}\]
利用
(705)#\[\begin{equation}
S^{jk} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\epsilon^{jkl} \sigma^l & 0 \\
0 & \epsilon^{jkl} \sigma^l
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
可以得到
(706)#\[\begin{equation}
S^i = \int d^3x \psi^\dagger \frac{1}{2} \Sigma^i \psi
\end{equation}\]
其中
(707)#\[\begin{equation}
\Sigma^i = \begin{pmatrix}
\sigma^i & 0 \\
0 & \sigma^i
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
借助自旋算符我们来考察狄拉克场的螺旋度。考虑一个对应费米子的单粒子态
(708)#\[\begin{equation}
|k , r \rangle = a_{k,r}^\dagger |0 \rangle
\end{equation}\]
不妨设其动量沿\(z\)轴方向，即\(\vec k = (0, 0, k_z)\)。此时自旋算符\(z\)方向投影的作用为
(709)#\[\begin{align}
S^3 | k, r \rangle = &\ \int d^3 x \, \psi^\dagger \frac{1}{2} \Sigma^3 \psi | k, r \rangle
\end{align}\]
对场作模式展开，且仅需保留费米子的产生湮灭部分，得到
(710)#\[\begin{align}
S^3 | k, r \rangle =&\ \int d^3x\, \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2 \omega_p} \sum_{s} \left( a_{p,s}^\dagger u_p^{s,\dagger} e^{ipx} \right) \frac{1}{2} \Sigma^3 \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3 2 \omega_q} \sum_{s'} \left( a_{q,s'} u_q^{s'} e^{-iqx} \right) | k, r \rangle
\\
= &\ \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2 \omega_p 2 \omega_q} \sum_{s} \left( a_{p,s}^\dagger u_p^{s,\dagger} \right) \frac{1}{2} \Sigma^3 \sum_{s'} \left( a_{q,s'} u_q^{s'} \right) a_{k, r}^\dagger | 0 \rangle
\\
= &\ \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 2 \omega_p 2 \omega_q} \sum_{s} \left( a_{p,s}^\dagger u_p^{s,\dagger} \right) \frac{1}{2} \Sigma^3 \sum_{s'} \left( u_q^{s'} \right) (2 \pi)^3 (2 \omega_q) \delta^{3}(\vec q - \vec k) \delta^{s' r} | 0 \rangle
\\
=&\ \frac{1}{4 \omega_k} \sum_s u_k^{s,\dagger} \Sigma^3 u_k^{r} a_{k, s}^\dagger |0 \rangle
\end{align}\]
利用
(711)#\[\begin{equation}
u_k^{s} = \begin{pmatrix}
\sqrt{p\cdot \sigma} \xi^s \\
\sqrt{p\cdot \bar\sigma} \xi^s
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\sqrt{\omega_k - k_z} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \sqrt{\omega_k + k_z} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \sqrt{\omega_k + k_z} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \sqrt{\omega_k - k_z}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\xi^s \\ \xi^s
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
得到
(712)#\[\begin{equation}
u_k^{s,\dagger} \Sigma^3 u_k^{r} = (\xi^{s,\dagger}, \xi^{s,\dagger})
\begin{pmatrix}
\omega_k - k_z & 0 & 0 & 0 \\
0 & - \omega_k - k_z & 0 & 0 \\
0 & 0 & \omega_k + k_z & 0 \\
0 & 0 & 0 & - \omega_k + k_z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\xi^r \\ \xi^r
\end{pmatrix} = \begin{cases}
\delta^{sr} 2 \omega_k & r = 1 \\
- \delta^{sr}2 \omega_k & r = 2 \\
\end{cases}
\end{equation}\]
因此有
(713)#\[\begin{equation}
S^3 | k, r \rangle = \begin{cases}
\frac{1}{2} | k, r \rangle & r = 1 \\
- \frac{1}{2} | k, r \rangle & r = 2
\end{cases}
\end{equation}\]