Kallen-Lehmann谱表示
考虑一个实标量场：
(903)\[\begin{equation}
{\cal L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi_0 \partial^\mu \phi_0 - \frac{1}{2}m_0^2 \phi_0^2 - V(\phi_0)
\end{equation}\]
我们以下标\(0\)表示这里的场和质量是原始拉氏量，或者说成裸拉氏量中的量。裸量意味着它们并不一定直接对应实验可能直接测量的场量。它们和实验中测量的场量，或者叫做重整化过后的场量的关系是本节讨论的内容。
首先考虑两个裸场的费曼传播子：
(904)\[\begin{equation}
\Delta_F(x-y) =
\langle \Omega | T \phi_0(x) \phi_0(y) | \Omega \rangle
\end{equation}\]
记其傅立叶变换为
(905)\[\begin{equation}
\Delta_F(p) = \int d^4x e^{ip\cdot x} \Delta_F(x)
\end{equation}\]
Kallen-Lehmann表示是关于\(\Delta_F(p)\)的一个精确结果。
按照费曼传播子的定义
(906)\[\begin{equation}
\Delta_F(x-y) = \theta(x^0 - y^0) \langle \Omega | \phi_0(x) \phi_0(y) | \Omega \rangle + \theta(y^0 - x^0) \langle \Omega | \phi_0(y) \phi_0(x) | \Omega \rangle
\end{equation}\]
为了求得\(\Delta_F(p)\)，我们需要计算\(\langle \Omega | \phi_0(x) \phi_0(y) | \Omega \rangle\)。我们在两个场间插入一组相对论性归一化下多粒子态组成的完备态：
(907)\[\begin{align}
\mathbb{1} = &\ | \Omega \rangle \langle \Omega | + \\
&\ + \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,m}} | p \rangle \langle p |
\\
&\ + \sum_n \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,M}} | p, n \rangle \langle p, n |
\end{align}\]
其中\(\omega_{p,m} = \sqrt{\vec p^2 + m^2}\)，\(\omega_{p,M} = \sqrt{\vec p^2 + M^2}\)。\(m\)是物理态单粒子的质量，其与\(m_0\)的关系尚有待考察。其中第二行代表单粒子态，第三行代表具有动量\(p\)和不变质量\(M\)的多粒子态，这里的\(n\)抽象地代表了除了总动量\(p\)外的其余量子数。对于多粒子态系统，有\(M^2 \geq 4 m^2\)，且关于\(M^2\)连续分布。对于真空期望值为零的场，第一行可以去掉，这时有
(908)\[\begin{equation}
\langle \Omega | \phi_0(x) \phi_0(y) | \Omega \rangle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,m}} \langle \Omega | \phi_0(x) | p \rangle \langle p | \phi_0(y) | \Omega \rangle + \sum_n \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,M}} \langle \Omega | \phi_0(x) | p, n \rangle \langle p, n | \phi_0(y) | \Omega \rangle
\end{equation}\]
利用平移算符\(T(x) = \exp(i \hat{P} \cdot x)\)，我们有
(909)\[\begin{equation}
\langle \Omega | \phi_0(x) | p \rangle = \langle \Omega | T^{-1}(-x) \phi_0(0) T(-x) | p \rangle = \langle \Omega | \phi_0(0) | p \rangle e^{-ip\cdot x}
\end{equation}\]
因此
(910)\[\begin{equation}
\langle \Omega | \phi_0(x) \phi_0(y) | \Omega \rangle = \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,m}} e^{-ip\cdot (x-y)} |\langle \Omega | \phi_0(0) | p \rangle |^2 + \sum_n \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,M}} e^{-ip\cdot (x-y)} |\langle \Omega | \phi_0(0) | p ,n \rangle |^2
\end{equation}\]
定义如下因子
(911)\[\begin{equation}
Z = |\langle \Omega | \phi_0(0) | p \rangle |^2
\end{equation}\]
以及
(912)\[\begin{equation}
\rho(s) = \sum_n \delta(s - M^2) |\langle \Omega | \phi_0(0) | p ,n \rangle |^2
\end{equation}\]
利用
(913)\[\begin{equation}
\int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4} \frac{i e^{-ip\cdot (x-y)}}{p^2 - m^2 + i \epsilon}= \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,m}} e^{-ip\cdot (x-y)} \theta(x^0 - y^0) + \int \frac{d^3 p}{(2 \pi)^3 2 \omega_{p,m}} e^{-ip\cdot (y-x)} \theta(y^0 - x^0)
\end{equation}\]
我们得到
(914)\[\begin{equation}
\Delta_F(x-y) = \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4} \frac{i Z e^{-ip\cdot (x-y)}}{p^2 - m^2 + i \epsilon}
+ \int \frac{d^4 p}{(2 \pi)^4} \int_{4 m^2}^\infty ds \, \frac{i \rho(s) e^{-ip\cdot (x-y)}}{p^2 - s + i \epsilon}
\end{equation}\]
从上式立刻读出动量空间的精确传播子为
(915)\[\begin{equation}
\Delta_F(p) = \frac{i Z}{p^2 - m^2 + i \epsilon} + \int_{4 m^2}^\infty ds \, \frac{i \rho(s)}{p^2 - s + i \epsilon}
\end{equation}\]
上式可与自由理论中的动量空间传播子比较：
(916)\[\begin{equation}
\Delta_{F, free}(p) = \frac{i}{p^2 - m_0^2 + i \epsilon}
\end{equation}\]
可见相互作用理论中的精确传播子不仅多了连续谱部分，它的单粒子极点的位置并不一定与自由理论中的相同，且其单极点处留数为\(iZ\)。
这里不加证明的也给出费米子场的费曼传播子的Kallen-Lehmann表示中的单粒子谱部分：
(917)\[\begin{equation}
\Delta_{F,\psi}(p) = \frac{i Z_\psi}{\gamma^\mu p_\mu - M + i \epsilon} + \cdots
\end{equation}\]
其中\(M\)是单粒子费米子态的物理质量。
Yukawa理论
下面我们以标量和费米子耦合的Yuakwa理论来看谱表示的具体粒子。Yukawa理论的裸拉氏量为
(918)\[\begin{equation}
{\cal L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi_0 \partial^\mu \phi_0 - \frac{1}{2}m_0^2 \phi_0^2 + i \bar \psi_0 \gamma^\mu \partial_\mu \psi_0 - M_0 \bar \psi_0 \psi_0 - g_0 \phi_0 \bar \psi_0 \psi_0
\end{equation}\]
在微扰论中，两点精确传播子可通过对单粒子不可约图的戴森级数求和得到：
(919)\[\begin{align}
\Delta_{F, \phi}(p) =&\ \frac{i}{p^2 - m_0^2 + i \epsilon} + \frac{i}{p^2 - m_0^2 + i \epsilon} (-i \Sigma_\phi(p)) \frac{i}{p^2 - m_0^2 + i \epsilon} + \frac{i}{p^2 - m_0^2 + i \epsilon} (-i \Sigma_\phi(p)) \frac{i}{p^2 - m_0^2 + i \epsilon}(-i \Sigma_\phi(p)) \frac{i}{p^2 - m_0^2 + i \epsilon} + \cdots \\
= &\ \frac{i}{p^2 - m_0^2 - \Sigma_\phi(p)+ i \epsilon }
\end{align}\]
其中\(\Sigma_\phi(p)\)是1PI的\(\phi_0\)的截腿自能图。例如，\(\Sigma_\phi(p)\)的单圈结果可以写为
(920)\[\begin{equation}
\Sigma_\phi^{(2)}(p) = - (-ig_0)^2 i^2 \int \frac{d^4 k}{(2 \pi)^4} \frac{\mathrm{Tr}[(\gamma^\mu k_\mu + M_0) (\gamma^\mu p_\mu + \gamma^\mu k_\mu + M_0) ]}{(k^2 - M_0^2) ((p+k)^2 - M_0^2)}
\end{equation}\]
关于费曼积分的处理我们留待后面讨论，此处只需要注意到这个积分是二次发散的。不妨对积分动量采取截断正规化，引入一个高能截断\(\Lambda\)，则这个积分的大致结果为
(921)\[\begin{equation}
\Sigma_\phi^{(2)}(p) \sim c_1 \frac{g_0^2}{16 \pi^2} \Lambda^2 + c_2 \frac{g_0^2}{16 \pi^2} M_0^2 \ln \frac{\Lambda^2}{M_0^2} + \cdots
\end{equation}\]
对比标量场的Kallen-Lehmann谱表示，
(922)\[\begin{equation}
\Delta_{F,\phi}(p) = \frac{i Z_\phi}{p^2 - m^2 + i \epsilon} + \cdots
\end{equation}\]
我们得到如下标量场的场重整化条件和质量重整化条件：
质量：
(923)\[\begin{equation}
p^2 - m_0^2 - \Sigma_\phi(p) \Big|_{p^2 = m^2} = 0
\end{equation}\]
定义质量重整化常数为\(m_0^2 = Z_m m^2\)，则
(924)\[\begin{equation}
Z_m = 1 - \frac{ \Sigma_\phi(p)}{ m^2} \Big|_{p^2 = m^2}
\end{equation}\]
这个常数给出了裸质量和物理质量的关系。
场重整化：
(925)\[\begin{equation}
Z_\phi^{-1} = 1 - \frac{\partial \Sigma_\phi(p)}{\partial p^2} \Big|_{p^2 = m^2}
\end{equation}\]
费米子场
对于费米子场，Kallen-Lehmann谱表示可以写为
(926)\[\begin{equation}
\int d^4 x \, e^{-ipx}
\langle \Omega | T \psi_0(x) \bar \psi_0(0) | \Omega \rangle
= \frac{i Z_2 }{\not\! p - m + i \epsilon} + \cdots
\end{equation}\]
其中我们忽略掉了非单粒子极点的贡献。
类似于标量的情况，定义单粒子不可约费米子传播子为\(-i \Sigma(p)\)，则费米子传播子的戴森级数求和的结果为
(927)\[\begin{equation}
\frac{i}{\not\! p - m_0} + \frac{i}{\not\! p - m_0} (-i \Sigma(p)) \frac{i}{\not\! p - m_0} + \cdots = \frac{i}{\not\! p - m_0 - \Sigma(p)}
\end{equation}\]
极点位置与物理质量一致的条件给出在壳质量重整化：
(928)\[\begin{equation}
\not\! p - m_0 - \Sigma(p) \Big|_{\not p = m} = 0
\end{equation}\]
如果我们让
(929)\[\begin{equation}
m_0 = Z_{m} m
\end{equation}\]
则
(930)\[\begin{equation}
Z_{m} = 1 - \frac{\Sigma(p)}{m} \Big|_{\not p = m}
\end{equation}\]
我们需要求戴森级数求和后的传播子在物理质量处的留数。注意到对于在\(z=z_0\)具有单极点的函数可以写为
(931)\[\begin{equation}
\frac{1}{f(z)}
\end{equation}\]
其中\(f(z)\)在\(z_0\)处具有单零点，且在\(z_0\)的留数可以写为
(932)\[\begin{equation}
\frac{1}{f'(z_0)}
\end{equation}\]
利用这个结果，我们得到戴森求和后的传播子在物理质量处的留数为
(933)\[\begin{equation}
\frac{i}{1 - \frac{d}{d p\!\! \big /} \Sigma(p)} \Big|_{p\!\! \big / = m}
\end{equation}\]
与谱表示的结果相比较，立刻得到
(934)\[\begin{equation}
Z_2^{-1} = 1 - \frac{d}{d p\!\!\! \big /} \Sigma(p) \Big|_{p\!\! \big / = m}
\end{equation}\]
