自由克莱因-戈登场的Fock(福克)空间#
仿照简谐振子，我们可以定义自由克莱因-戈登场的Fock空间。从真空态出发，可以通过产生算符构造单粒子态
(213)#\[\begin{equation}
|\boldsymbol{k}\rangle = a_{\boldsymbol{k}}^\dagger |0\rangle
\end{equation}\]
单粒子态的归一化条件为
(214)#\[\begin{align}
\langle \boldsymbol{k} | \boldsymbol{k}' \rangle &= \langle 0 | a_{\boldsymbol{k}} a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger |0\rangle \\
&= \langle 0 | [a_{\boldsymbol{k}}, a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger] |0\rangle \\
&= \delta^{(3)}(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')
\end{align}\]
产生算符的连续两次作用给出双粒子态
(215)#\[\begin{equation}
|\boldsymbol{k}_1, \boldsymbol{k}_2\rangle = a_{\boldsymbol{k}_1}^\dagger a_{\boldsymbol{k}_2}^\dagger |0\rangle
\end{equation}\]
双粒子态的归一化为
(216)#\[\begin{align}
\langle \boldsymbol{k}_1, \boldsymbol{k}_2 | \boldsymbol{k}_1', \boldsymbol{k}_2' \rangle &= \langle 0 | a_{\boldsymbol{k}_1} a_{\boldsymbol{k}_2} a_{\boldsymbol{k}_2'}^\dagger a_{\boldsymbol{k}_1'}^\dagger |0\rangle \\
&= \delta^{(3)}(\boldsymbol{k}_1 - \boldsymbol{k}_2') \delta^{(3)}(\boldsymbol{k}_2 - \boldsymbol{k}_1')
+ \delta^{(3)}(\boldsymbol{k}_1 - \boldsymbol{k}_1') \delta^{(3)}(\boldsymbol{k}_2' - \boldsymbol{k}_2)
\\
\end{align}\]
自由场中的完备算符这时可以写为
(217)#\[\begin{equation}
\mathbb{I} = |0 \rangle \langle 0 | + \int d^3 k | \boldsymbol{k} \rangle \langle \boldsymbol{k} | + \frac{1}{2!} \int d^3 k_1 d^3 k_2 | \boldsymbol{k}_1, \boldsymbol{k}_2 \rangle \langle \boldsymbol{k}_1, \boldsymbol{k}_2 | + \cdots
\end{equation}\]
因子\(1/2!\)是考虑了双粒子态的玻色对称性。其中
(218)#\[\begin{equation}
\mathbb{I}_1 = \int d^3 k | \boldsymbol{k} \rangle \langle \boldsymbol{k} |
\label{oneparticle}
\end{equation}\]
是单粒子态的完备算符。以此类推还有双粒子态的单位算符，等等。因此我们也可以写成
(219)#\[\begin{equation}
\mathbb{I} = \mathbb{I}_0 + \mathbb{I}_1 + \mathbb{I}_2 + \cdots
\end{equation}\]
考虑如下洛伦兹变换：
(220)#\[\begin{equation}
k^\mu \to k'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} k^\nu
\end{equation}\]
在Fock空间，洛伦兹变换可以表示成幺正变换对态的作用。我们期待作用后的态对应到\(\boldsymbol{k}'\)的单粒子态，但前面可以存在一个归一化因子
(221)#\[\begin{equation}
U(\Lambda) | \boldsymbol{k} \rangle = \lambda(k, k') | \boldsymbol{k}' \rangle
\end{equation}\]
为了确定这个归一化因子，考虑\(U(\Lambda)\)作用到单粒子的完备算符上
(222)#\[\begin{equation}
\int d^3k | \boldsymbol{k} \rangle \langle \boldsymbol{k} | =
\mathbb{I}_1 = U(\Lambda) \mathbb{I}_1 U^\dagger(\Lambda) = \int d^3 k U(\Lambda) | \boldsymbol{k} \rangle \langle \boldsymbol{k} | U^\dagger(\Lambda)
= \int d^3 k |\lambda(k, k')|^2 | \boldsymbol{k}' \rangle \langle \boldsymbol{k}' |
\end{equation}\]
在上式中，我们利用了投影到单粒子态上的幺正性关系\(U(\Lambda) \mathbb{I}_1 U^\dagger(\Lambda) = \mathbb{I}_1\)。 因此我们得到关系
(223)#\[
\int d^3k | \boldsymbol{k} \rangle \langle \boldsymbol{k} | = \int d^3 k |\lambda(k, k')|^2 | \boldsymbol{k}' \rangle \langle \boldsymbol{k}' |
\]
我们知道如下积分测度是洛伦兹不变的
(224)#\[\begin{equation}
\int \frac{d^3 k }{2 \omega_k}
\end{equation}\]
因此我们将(223)改写为
(225)#\[\begin{align}
\int \frac{d^3k}{2 \omega_k} 2 \omega_k | \boldsymbol{k} \rangle \langle \boldsymbol{k} | = &\ \int \frac{d^3 k}{2 \omega_{k}} 2 \omega_k |\lambda(k, k')|^2 | \boldsymbol{k}' \rangle \langle \boldsymbol{k}' |
\\
= & \ \int \frac{d^3 k}{2 \omega_{k}} 2 \omega_k |\lambda(k, \Lambda k)|^2 | \boldsymbol{\Lambda k} \rangle \langle \boldsymbol{\Lambda k} |
\\
= & \ \int \frac{d^3 k}{2 \omega_{k}} 2 \omega_{\Lambda^{-1} k} |\lambda(\Lambda^{-1} k, k)|^2 | \boldsymbol{k} \rangle \langle \boldsymbol{k} |
\end{align}\]
因此我们得到关系
(226)#\[\begin{equation}
2 \omega_k =2 \omega_{\Lambda^{-1} k} |\lambda(\Lambda^{-1} k, k)|^2
\end{equation}\]
或者
(227)#\[\begin{equation}
\lambda(k, \Lambda k) = \sqrt{\frac{\omega_{\Lambda k}}{\omega_k}}
\end{equation}\]
洛伦兹变换对单粒子态的作用现在可以写为
(228)#\[\begin{equation}
U(\Lambda) | \boldsymbol{k} \rangle = \sqrt{\frac{\omega_{\Lambda k}}{\omega_k}} | \boldsymbol{\Lambda k} \rangle
\end{equation}\]
这启发我们可以定义如下相对论性的单粒子态
(229)#\[\begin{equation}
| k \rangle = (2\pi)^{3/2} \sqrt{ 2 \omega_k} | \boldsymbol{k} \rangle
\end{equation}\]
其中的\((2\pi)\)因子纯属约定。此时洛伦兹变换对态的作用具有更简单形式：
(230)#\[\begin{equation}
U(\Lambda) | k \rangle = | \Lambda k \rangle
\end{equation}\]
相对论性单粒子态的归一化为
(231)#\[\begin{equation}
\langle k | k' \rangle = (2\pi)^3 2 \omega_k \delta^{(3)}(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')
\end{equation}\]
在海森堡表象下，算符\(O\)在某个幺正变换\(U\)下变为
(232)#\[\begin{equation}
O \to O' = U^\dagger O U
\end{equation}\]
因此我们可以计算产生算符在洛伦兹变换下的变换
(233)#\[\begin{align}
a_{\boldsymbol{k}}^\dagger \to &\ U^\dagger(\Lambda) a_{\boldsymbol{k}}^\dagger U(\Lambda) \\
&= \sqrt{\frac{\omega_{\Lambda^{-1} k}}{\omega_k}} a_{\boldsymbol{\Lambda^{-1} k}}^\dagger
\end{align}\]
这可通过将\(a_{\boldsymbol{k}}^\dagger\)作用到真空态上来验证。对湮灭算符也有同样变换关系。最后，我们就得到了自由克莱因-戈登场在主动洛伦兹变换下的变换关系
(234)#\[\begin{align}
U(\Lambda)^\dagger \phi(x) U(\Lambda) &=
\int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k}} \sqrt{\frac{2 \omega_{\Lambda^{-1} k}}{2 \omega_k}} (a_{\boldsymbol{\Lambda^{-1} k}} e^{-i k \cdot x} + a_{\boldsymbol{\Lambda^{-1} k}}^\dagger e^{i k \cdot x}) \\
&= \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^{3/2} 2 \omega_{ k}} \sqrt{2 \omega_k} (a_{\boldsymbol{k}} e^{-i \Lambda k \cdot x} + a_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i \Lambda k \cdot x}) \\
&= \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_{ k}} } (a_{\boldsymbol{k}} e^{-i k \cdot \Lambda^{-1}x} + a_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i k \cdot \Lambda^{-1} x})
\\
&= \phi(\Lambda^{-1} x)
\end{align}\]
与经典场在主动变换下的行为一致。
有时候为了方便起见也可定义相对论归一化的产生湮灭算符，这时上面的讨论可以得到简化：
(235)#\[\begin{equation}
\alpha_k = ( 2\pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k} a_{\boldsymbol{k}} \,, \quad \alpha_k^\dagger = ( 2\pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k} a_{\boldsymbol{k}}^\dagger
\end{equation}\]
相对论单粒子态有\(\alpha_k^\dagger\)产生：
(236)#\[\begin{equation}
| k \rangle = \alpha_k^\dagger |0\rangle \,, \quad \alpha_k | k \rangle = | 0 \rangle
\end{equation}\]
这时产生湮灭算符的变化为
(237)#\[\begin{equation}
U^\dagger(\Lambda) \alpha_k U(\Lambda) = \alpha_{\Lambda^{-1} k} \,, \quad U^\dagger(\Lambda) \alpha_k^\dagger U(\Lambda) = \alpha_{\Lambda^{-1} k}^\dagger
\end{equation}\]
标量场的模式展开变为
(238)#\[\begin{equation}
\phi(x) = \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3 2 \omega_k} ( \alpha_k e^{-i k \cdot x} + \alpha_k^\dagger e^{i k \cdot x})
\end{equation}\]
场的洛伦兹变换变为
(239)#\[\begin{align}
U^\dagger(\Lambda) \phi(x) U(\Lambda) = &\ \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^3 2 \omega_k} ( \alpha_{\Lambda^{-1} k} e^{-i k \cdot x} + \alpha_{\Lambda^{-1}k}^\dagger e^{i k \cdot x})
\\
=& \phi(\Lambda^{-1} x)
\end{align}\]