QED电荷重整化#
光子自能图#
在上一章，我们发现光子单圈单粒子不可约图可以写作如下积分：
(945)#\[\begin{equation}
i \pi_{\mu \nu}(q) = i (q^2 \eta_{\mu\nu} - q_\mu q_\nu) \Pi(q^2)
\end{equation}\]
其中
(946)#\[\begin{equation}
\Pi(q^2) = 2 \frac{\alpha}{\pi} \int_0^1 dx \, x(1-x)
\left[ - \frac{1}{\epsilon} + \ln \left( \frac{m^2 - x(1-x) q^2}{\mu^2} \right)\right] + {\cal O}(\alpha^2)
\end{equation}\]
Kallen-Lehmann表示告诉我们，精确的动量空间光子传播子应为
(947)#\[\begin{equation}
\Delta_{\mu\nu}(q) = \frac{-i \eta_{\mu\nu} Z_3}{q^2+i \epsilon} + \cdots
\end{equation}\]
而对光子的1PI自能图的戴森级数求和后给出
(948)#\[\begin{equation}
\Delta_{\mu\nu}(q) = \frac{-i \eta_{\mu\nu}}{q^2+i \epsilon} \frac{1}{1 - \Pi(q^2)} + \cdots
\end{equation}\]
两个比较可以得到光子场强在在壳方案下的重整化常数为
(949)#\[\begin{equation}
Z_3^{\text{OS}} = \frac{1}{1 - \Pi(0)} = 1 + \frac{\alpha}{3 \pi} \left( - \frac{1}{\epsilon} + \ln \frac{m^2}{\mu^2} \right) + {\cal O}(\alpha^2)
\end{equation}\]
有效耦合常数#
对于高能散射过程，例如s道的湮灭过程\(e^-(p_1)e^+(p_2) \to \mu^-(p_3)\mu^+(p_4)\),当转移动量远大于电子质量，即\(q^2 \gg m^2\)时，其数图费曼振幅为
(950)#\[\begin{equation}
i {\cal M}_0 = (-ie_0)^2 \bar v(p_2) \gamma_\mu u(p_1) \frac{-i}{q^2} \bar u(p_3) \gamma^\mu v (p_4)
\end{equation}\]
其中\(q = (p_1 + p_2)^2 \gg m^2\)。在树图水平，\(e_0 = e\)。
如果仅考虑光子自能图修正（对于QED，光子自能是规范不变的，因此单独考虑这一部分修正是合法的），求和所有1PI图的戴森级数后给出：
(951)#\[\begin{equation}
i {\cal M} = (-ie_0)^2 \bar v(p_2) \gamma_\mu u(p_1) \frac{-i}{q^2 (1 - \Pi(q^2))} \bar u(p_3) \gamma^\mu v (p_4)
\end{equation}\]
与树图比较，可以等效认为，求和光子1PI戴森级数等价于将树图中的耦合常数\(e_0\)替换为
(952)#\[\begin{equation}
e_0^2 \to \frac{e_0^2}{ (1 - \Pi(q^2))} = \frac{Z_3^{-1, \text{OS}} e^2}{1 - \Pi(q^2)} \overset{{\cal O}(\alpha)}{=} \frac{e^2}{1 - \hat \Pi(q^2)} = [e(q^2)]^2
\end{equation}\]
其中我们定义了跑动耦合常数\(e(q^2)\)。上式中我们应用了
(953)#\[\begin{equation}
Z_3^{\text{OS}} = \frac{1}{1 - \Pi(0)} \,, \qquad \hat \Pi(q^2) \equiv \Pi(q^2) - \Pi(0)
\end{equation}\]
利用\(\Pi(q^2)\)的结果，有
(954)#\[\begin{equation}
\hat \Pi(q^2) = 2 \frac{\alpha}{\pi} \int_0^1 dx\, x(1-x) \ln \left( \frac{m^2 - x(1-x) q^2}{m^2} \right) + {\cal O}(\alpha^2) = \frac{\alpha}{3\pi} \ln \frac{q^2}{m^2} + \cdots
\end{equation}\]
其中省略的是非对数增强的项。因此跑动精细结构常数为
(955)#\[\begin{equation}
\alpha(\mu) = \frac{\alpha}{1 - \frac{\alpha}{3\pi} \ln \frac{\mu^2}{m^2}}
\end{equation}\]
其中\(\alpha = 1/137\)是非相对论极限下的精细结构常数。
电荷的重整化群方程#
上面得到的跑动耦合常数结果也可以通过求解重整化群方程得到。为此，我们回忆QED的裸拉格朗日量在\(d=4-2\epsilon\)维可以写成
(956)#\[\begin{equation}
{\cal L} = - \frac{1}{4} F_{\mu\nu, 0} F^{\mu\nu}_0 + \bar \psi_0 (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi_0 - e_0 \bar \psi_0 \gamma^\mu \psi_0 A_{\mu,0}
\end{equation}\]
其中，各个量的质量量纲为
(957)#\[\begin{equation}
[{\cal L}] = 4 - 2 \epsilon \,, \quad [\psi_0] = \frac{3}{2} - \frac{\epsilon}{2} \,, \quad [A_{\mu,0}] = 1 - \frac{\epsilon}{2} \,, \quad [e_0] = \epsilon
\end{equation}\]
因此，裸的电荷具有非零质量量纲。定义重整化后的电荷为\(e\)，且要求\([e]=0\)，相互作用拉氏量写为
(958)#\[\begin{equation}
e_0 \psi_0 \gamma^\mu \psi_0 A_{\mu, 0} = e \mu^{\epsilon} Z_1 \psi \gamma^\mu \psi A_\mu
\end{equation}\]
其中我们引入了一个重整化标度\(\mu\)，它具有质量量纲。 利用
(959)#\[\begin{equation}
\psi_0 = \sqrt{Z_2} \psi \,, \quad A_{\mu, 0} = \sqrt{Z_3} A_\mu
\end{equation}\]
得到
(960)#\[\begin{equation}
e_0 Z_2 \sqrt{Z_3} = e \mu^\epsilon Z_1
\end{equation}\]
以及规范不变性Z_1 = Z_2$，得到
(961)#\[\begin{equation}
e_0^2 =e^2 \mu^{2 \epsilon} Z_3^{-1}
\end{equation}\]
为了求得电荷的重整化群方程，我们必须采用\(\overline{MS}\)重整化方案，也就是对于\(Z_3\)仅保留发散项：
(962)#\[\begin{equation}
Z_3^{\overline{\text{MS}}} = 1 - \frac{\alpha}{3 \pi} \frac{1}{\epsilon} + {\cal O}(\alpha^2)
\end{equation}\]
要求等式左边与重整化标度无关：
(963)#\[\begin{equation}
\frac{d e_0^2}{d \mu^2} = 0
\end{equation}\]
给出等式
(964)#\[\begin{equation}
\frac{d}{d\mu^2} \left[ e^2 \mu^{2 \epsilon} \frac{1}{Z_3^{\overline{\text{MS}}}} \right] = 0
\end{equation}\]
将求导作用到方括号中，得到
(965)#\[\begin{equation}
\mu^{2 \epsilon} \frac{1}{Z_3^{\overline{\text{MS}}}} \frac{d e^2}{d \mu^2} + \frac{\epsilon}{\mu^2} \mu^{2 \epsilon} e^2 \frac{1}{Z_3^{\overline{\text{MS}}}} - e^2 \mu^{2 \epsilon} \frac{1}{(Z_3^{\overline{\text{MS}}})^2} \frac{d Z_3^{\overline{\text{MS}}}}{d \mu^2} = 0
\end{equation}\]
定义\(\alpha(\mu^2) = e^2(\mu^2)/(4 \pi)\)，上式可以整理为
(966)#\[\begin{equation}
\frac{d \ln \alpha(\mu^2)}{d \ln \mu^2} = - \epsilon + \frac{d \ln Z_3^{\overline{\text{MS}}}}{d \ln \mu^2}
\end{equation}\]
利用\(Z_3^{\overline{\text{MS}}}\)的表达式，有
(967)#\[\begin{equation}
\frac{d \ln Z_3^{\overline{\text{MS}}}}{d \ln \mu^2} = - \frac{1}{3 \pi \epsilon} \frac{d \alpha}{d \ln \mu^2} + {\cal O}(\alpha^2) = \frac{\alpha}{3 \pi} + {\cal O}(\alpha^2)
\end{equation}\]
因此有
(968)#\[\begin{equation}
\frac{d \ln \alpha(\mu^2)}{d \ln \mu^2} = - \epsilon + \frac{\alpha}{3 \pi} + {\cal O}(\alpha^2)
\end{equation}\]
一般的，我们将耦合常数所满足的重整化群方程写为（让\(\epsilon \to 0\)）
(969)#\[\begin{equation}
\frac{d \alpha}{d \ln \mu^2} = \beta(\alpha) = \beta_0 \alpha^2 + \beta_1 \alpha^3 + \cdots
\end{equation}\]
则对于QED有\(\beta_0 = 1/(3 \pi)>0\)。
为了求解这个方程，我们将其写为
(970)#\[\begin{equation}
\frac{d\alpha}{\alpha^2} = \beta_0 \ln \mu^2
\end{equation}\]
两边积分，得到
(971)#\[\begin{equation}
\int_{\alpha(m^2)}^{\alpha(q^2)} \frac{d\alpha}{\alpha^2} = - \left( \frac{1}{\alpha(q^2)} - \frac{1}{\alpha(m^2)} \right)= \beta_0 \ln \frac{q^2}{m^2}
\end{equation}\]
求解上述方程，得到
(972)#\[\begin{equation}
\alpha(q^2) = \frac{\alpha(m^2)}{1 - \alpha(m^2) \beta_0 \ln \frac{q^2}{m^2}}
\end{equation}\]
与求和戴森级数的结果一致。