相互作用拉氏量
到目前为止，我们讨论的场论都仅局限于自由场。我们把它称作自由场的原因是它的运动方程：
(371) \[\begin{equation}
(\partial^2 + m^2) \phi = 0
\end{equation}\]
是线性的，因此满足叠加原理。想象从克莱因-戈登方程制备两个波包，一个沿着\(x\) 轴从右往左，一个从左往用。因此这两个波包会发生碰撞。但由于叠加原理，碰撞后的解仍然是两个一模一样的波包，一个往左，一个往右，两个波包穿越了对方没发生任何相互作用，因此我们称它是自由的。
为了得到更有趣的物理，我们需要在拉氏量密度中引入相互作用，但同时要确保引入的相互作用不会导致因果律破坏。例如，形如\(\phi(x) \phi(y)\) 把两个时空点耦合在了一起，显然会导致非定域性。因此，一个自然的推广是在拉氏量中加入\(\phi(x)\) 的多项式函数：
(372) \[
\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2
- \sum_{n=3}^\infty \frac{\lambda_n}{n!} \phi^n(x)
\end{equation}
\]
对应的运动方程变为：
(373) \[\begin{equation}
(\partial^2 + m^2) \phi = - \sum_{n=3}^\infty \frac{\lambda_n}{(n-1)!} \phi^{n-1}(x)
\end{equation}\]
这个方程包含无穷多个非线性项，看起来无比复杂无穷下手。
与上面这个例子相对应的是经典力学中的简谐振子。它的运动方程是：
(374) \[\begin{equation}
\ddot{x} + \omega^2 x = 0
\end{equation}\]
这也是一个线性的运动方程，但自然界提供了许多使其线性化的真实案例，例如单摆。它的运动方程满足：
(375) \[\begin{equation}
\ddot{\theta} + \omega^2 \sin \theta = 0
\end{equation}\]
如果对\(\sin\theta\) 展开，也是包含无穷多项的非线性运动方程：
(376) \[\begin{equation}
\ddot{\theta} + \omega^2 \theta - \frac{\omega^2}{6} \theta^3 + \frac{\omega^2}{120} \theta^5 - \cdots = 0
\end{equation}\]
但接下来我们将看到，量子场论从某种意义上更简单：拉氏量中的无穷相互作用项中，只有有限个是在低能情况下重要的。
首先我们对拉氏量(372) 中的耦合常数做一下量纲分析。正如我们之前所说，由于作用量在自然单位制下无量纲，因此拉氏量应具有正四的质量量纲：
(377) \[\begin{equation}
[\mathcal{L}] = 4
\end{equation}\]
因此，\(\phi\) 的量纲为\(1\) ，\(\partial_\mu \phi\) 的量纲为\(2\) ，\(m^2 \phi^2\) 的量纲为\(4\) ，\(\phi^n\) 的量纲为\(n\) 。因此，耦合常数\(\lambda_n\) 的量纲为\(4-n\) 。我们可以把\(\lambda_n\) 写成\(\lambda_n = c_n \mu^{4-n}\) ，其中\(\mu\) 是某个带质量量纲的参数。这样，拉氏量就可以写成：
(378) \[\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2
- \sum_{n=3}^\infty \frac{c_n}{n!} \mu^{4-n} \phi^n(x)
\end{equation}\]
这里的\(c_n\) 是无量纲常数。一个自然的选择是认为\(\mu\) 是理论成立的截断能标，即当能量超过\(\mu\) 时，我们的理论不再适用，比如让\(\mu = M_{\text{Planck}}\) ，而\(c_n\) 是一系列\(\mathcal{O}(1)\) 的无量纲量。这时，当我们用这个理论去计算物理观测量，比如散射截面时，纯粹从量纲分析出发我们期待有：
(379) \[\begin{equation}
\sigma \sim \frac{1}{E^2} f(\frac{m}{E}, c_n \frac{E^{n-4}}{\mu^{n-4}})
\end{equation}\]
其中\(E\) 是散射粒子的典型能量，\(f\) 是一个未知的函数。对于低能实验（这里指的低能实验是指的相对理论的紫外截断能标低），\(E\ll \mu\) ，这时，取决于\(n\) 的值，拉氏量里的不同项将具有截然不同的行为。
\(n<4\) 时，\(\frac{E^{n-4}}{\mu^{n-4}} \to \infty\) ，这一类算符称作相关算符。
\(n=4\) 时，\(\frac{E^{n-4}}{\mu^{n-4}} = 1\) ，这一类算符称作边缘算符。
\(n>4\) 时，\(\frac{E^{n-4}}{\mu^{n-4}} \to 0\) ，这一类算符称作无关算符。
换句话说，可以认为\(n>4\) 的算符对低能观测量产生的影响可以忽略不计。这就大大简化了我们的拉氏量中所包含的项数：
(380) \[\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2
- \frac{\lambda_3}{3!} \phi^3 - \frac{\lambda_4}{4!} \phi^4
\end{equation}\]
另外，我们总是可以对\(\phi\) 做一个重新定义去消掉\(\phi^3\) 项：
(381) \[\begin{equation}
\phi \to \phi - \frac{\lambda_3}{\lambda_4}
\end{equation}\]
因此，我们现在将讨论的拉氏量具有形式：
(382) \[
\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2
- \frac{\lambda}{4!} \phi^4
\end{equation}
\]
这个理论也被称作\(\lambda\phi^4\) 理论。
相互作用绘景
尽管我们的拉氏量已被大为简化，但精确求解这个理论仍然具有极大的困难：
下面我们将分别介绍处理上述两个问题的微扰论方案。在微扰框架里，我们假设\(\lambda \ll 1\) ，因此可以对其做展开（我们日后将发现，这个展开是所谓的渐进展开，关于\(\lambda\) 的收敛半径为零）。因此，我们是在自由场附近做微扰，我们过去学习过的自由场知识将帮助我们如何处理这个问题。
从(382) 出发，求得共轭动量场为：
(383) \[\begin{equation}
\pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}} = \dot{\phi}
\end{equation}\]
哈密顿量密度：
(384) \[\begin{equation}
\mathcal{H} = \pi \dot{\phi} - \mathcal{L} = \frac{1}{2} \pi^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi^4
\end{equation}\]
哈密顿量通过对全空间积分得到：
(385) \[\begin{equation}
H = \int \mathrm{d}^3 x \mathcal{H} = \int \mathrm{d}^3 x \left( \frac{1}{2} \pi^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 + \frac{\lambda}{4!} \phi^4 \right)
\end{equation}\]
我们可以把哈密顿量分解为自由场部分和相互作用部分：
(386) \[\begin{equation}
H = H_0 + H_{int}
\end{equation}\]
其中相互作用部分为：
(387) \[\begin{equation}
H_{int} = \int \mathrm{d}^3 x \frac{\lambda}{4!} \phi^4
\end{equation}\]
我们在这一章的目的是计算带相互作用场的真空编时关联：
(388) \[\begin{equation}
\langle \Omega | T\{\phi(x_1) \phi(x_2) \cdots \phi(x_n)\} | \Omega \rangle
\end{equation}\]
这里之所以关心编时关联的原因在于其与许多物理可观测量紧密相连，具体细节留待以后再讨论。这个问题似乎无穷下手。第一
在海森堡绘景下，一旦我们知道场在某个时刻\(t_0\) 对初始条件，则通过海森堡方程能够得到场在任意时刻的解：
(389) \[\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x}, t) = e^{i H (t-t_0)} \phi(\boldsymbol{x}, t_0) e^{- i H (t-t_0)}
\end{equation}\]
但问题是，我们不知道如何对角化\(H\) ，因此上述时间演化公式仅有形式意义。虽然我们无法对角化\(H\) ，但\(H_0\) 是可以对角化的。不妨在上式插入两个单位算符：
(390) \[\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x}, t) = e^{i H (t-t_0)} e^{-i H_0 (t-t_0)} e^{i H_0 (t-t_0)} \phi(\boldsymbol{x}, t_0) e^{-i H_0 (t-t_0)} e^{i H_0 (t-t_0)} e^{- i H (t-t_0)}
\end{equation}\]
然后将中间三项记为\(\phi_I(\boldsymbol{x}, t)\) ，称作相互作用绘景 下的场：
(391) \[\begin{equation}
\phi_I(\boldsymbol{x}, t) = e^{i H_0 (t-t_0)} \phi(\boldsymbol{x}, t_0) e^{-i H_0 (t-t_0)}
\end{equation}\]
这样\(\phi(\boldsymbol{x}, t)\) 就可以写成：
(392) \[
\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x}, t) = e^{i H (t-t_0)} e^{- i H_0 (t - t_0)} \phi_I(\boldsymbol{x}, t) e^{i H_0 (t - t_0)} e^{- i H (t-t_0)}
\end{equation}
\]
在应用这个公式前，我们先更详细得讨论一下\(\phi_I\) 。首先，我们注意到\(\phi_I\) 满足的运动方程为：
(393) \[
\begin{equation}
(\partial^2 + m^2) \phi_I(\boldsymbol{x}, t) = 0
\end{equation}
\]
为了看到这一点，我们可以定义\(t_0\) 时刻的共轭动量：
(394) \[\begin{equation}
\pi(\boldsymbol{x}, t_0) = \dot \phi(\boldsymbol{x}, t_0) = i [H, \phi(\boldsymbol{x}, t_0)] = i [H_0, \phi(\boldsymbol{x}, t_0)]
\end{equation}\]
其中在最后一个等式里，我们应用了\(H_0\) 和\(H\) 的差异仅是\(\phi\) 的多项式，因此对易子为零。我们也可以定义相互作用绘景下的动量场：
(395) \[\begin{equation}
\pi_I(\boldsymbol{x}, t) = e^{i H_0 (t-t_0)} \pi(\boldsymbol{x}, t_0) e^{-i H_0 (t-t_0)}
\end{equation}\]
\(\phi_I\) 的二阶时间导数为：
(396) \[\begin{equation}
\ddot{\phi}_I(\boldsymbol{x}, t) = i [H_0, \dot{\phi}_I(\boldsymbol{x}, t)] = i [H_0, \pi_I(\boldsymbol{x}, t)] = i e^{i H_0 (t-t_0)} [H_0, \pi(\boldsymbol{x}, t_0)] e^{-i H_0 (t-t_0)}
\end{equation}\]
利用\(H_0\) 的表达式：
(397) \[\begin{equation}
H_0 = \int \mathrm{d}^3 x \left( \frac{1}{2} \pi^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \right)
\end{equation}\]
定义在\(t_0\) 时刻的等时对易关系：
(398) \[\begin{equation}
[\phi(\boldsymbol{x}, t_0), \pi(\boldsymbol{y}, t_0)] = i \delta^3(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})
\end{equation}\]
这时，我们可以求得\([H_0, \pi(\boldsymbol{x}, t_0)]\) :
(399) \[\begin{align}
[H_0, \pi(\boldsymbol{x}, t_0)] &= \int \mathrm{d}^3 y \left( \nabla \phi [\nabla \phi(\boldsymbol{y}, t_0), \pi(\boldsymbol{x}, t_0)] + m^2 [\phi(\boldsymbol{y}, t_0), \phi(\boldsymbol{x}, t_0)] \phi(\boldsymbol{y}, t_0) \right) \\
&= i \int \mathrm{d}^3 y \left( \nabla \phi(\boldsymbol{y}, t_0) \nabla \delta^3(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}) + m^2 \phi(\boldsymbol{y}, t_0) \delta^3(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}) \right) \\
&= i \left( - \nabla^2 \phi(\boldsymbol{x}, t_0) + m^2 \phi(\boldsymbol{x}, t_0) \right)
\end{align}\]
因此，\(\ddot{\phi}_I\) 可以写成：
(400) \[\begin{equation}
\ddot{\phi}_I(\boldsymbol{x}, t) = i^2 e^{i H_0 (t-t_0)} \left( - \nabla^2 \phi(\boldsymbol{x}, t_0) + m^2 \phi(\boldsymbol{x}, t_0) \right) e^{-i H_0 (t-t_0)} = \nabla^2 \phi_I(\boldsymbol{x}, t) - m^2 \phi_I(\boldsymbol{x}, t)
\end{equation}\]
因此(393) 得证。这个结果的意义在于，我们可以把\(\phi_I\) 看成一个自由场，它的运动方程与自由场完全一样，因此我们可以用自由场的模式展开来表示\(\phi_I\) ：
(401) \[\begin{equation}
\phi_I(\boldsymbol{x}, t) = \int \frac{\mathrm{d}^3 k}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k }} \left( a_{\boldsymbol{k}} e^{-i k \cdot x} + a_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i k \cdot x} \right)
\end{equation}\]
其中的产生湮灭算符应视为相互作用绘景下的产生湮灭算符，满足与自由场相同的对易关系：
(402) \[\begin{equation}
[a_{\boldsymbol{k}}, a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger] = (2\pi)^3 \delta^3(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')
\end{equation}\]
同样的还能定义相互作用绘景下的Fock空间，与自由理论的Fock空间具有相同结构。
回到(392) ，引入时间演化算符：
(403) \[\begin{equation}
U(t, t_0) = e^{i H_0 (t-t_0)} e^{- i H (t - t_0)}
\end{equation}\]
这时(392) 可以写成：
(404) \[\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x}, t) = U^\dagger(t, t_0) \phi_I(\boldsymbol{x}, t) U(t, t_0)
\end{equation}\]
如果我们能求解时间演化算符，则可以得到场在任意时刻的解。显而易见，时间演化算符满足初始条件：
(405) \[\begin{equation}
U(t_0, t_0) = 1
\end{equation}\]
且是幺正算符。对\(t\) 求导得到：
(406) \[\begin{align}
\frac{\partial U(t, t_0)}{\partial t} = &\ i e^{i H_0 (t-t_0)} H_0 e^{- i H (t - t_0)} - i e^{i H_0 (t-t_0)} H e^{- i H (t - t_0)} \\
= &\ i e^{i H_0 (t-t_0)} (H_0 - H) e^{- i H (t - t_0)} \\
= &\ - i e^{i H_0 (t-t_0)} H_{int} e^{-i H_0 (t - t_0)} e^{i H_0 (t - t_0)} e^{- i H (t - t_0)} \\
= &\ - i H_I(t) U(t, t_0)
\end{align}\]
其中\(H_I(t)\) 是相互作用绘景下的相互作用哈密顿量：
(407) \[\begin{equation}
H_I(t) = e^{i H_0 (t-t_0)} H_{int}(t_0) e^{-i H_0 (t - t_0)}
\end{equation}\]
为了求解此方程，我们假设\(\lambda\) 为小量，对解按照\(\lambda\) 的幂次展开：
(408) \[\begin{equation}
U(t, t_0) = 1 + U^{(1)}(t, t_0) + U^{(2)}(t, t_0) + \cdots
\end{equation}\]
其中\(U^{(n)}\) 是\(\mathcal{O}(\lambda^n)\) 的项。将\(U^{(1)}\) 代入微分方程，得到：
(409) \[\begin{equation}
\frac{\partial U^{(1)}(t, t_0)}{\partial t} = - i H_I(t)
\end{equation}\]
这个方程的解为：
(410) \[\begin{equation}
U^{(1)}(t, t_0) = - i \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_1 H_I(t_1)
\end{equation}\]
将\(U^{(2)}\) 代入微分方程，得到：
(411) \[\begin{align}
\frac{\partial U^{(2)}(t, t_0)}{\partial t} = &\ - i H_I(t) U^{(1)}(t, t_0) \\
\\
= &\ (- i)^2 H_I(t) \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_1 H_I(t_1)
\end{align}\]
这个方程的解为：
(412) \[\begin{equation}
U^{(2)}(t, t_0) = (- i)^2 \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_2 H_I(t_2) \int_{t_0}^{t_2} \mathrm{d} t_1 H_I(t_1)
\end{equation}\]
我们可以将这个解写成更对称的形式：
(413) \[\begin{equation}
U^{(2)}(t, t_0) = \frac{(- i)^2}{2} \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_2 \int_{t_0}^{t_2} \mathrm{d} t_1 H_I(t_2) H_I(t_1) + \frac{(- i)^2}{2} \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_1 \int_{t_0}^{t_1} \mathrm{d} t_2 H_I(t_1) H_I(t_2)
\end{equation}\]
其中在第二项我们无非是对换了一下\(t_1 \leftrightarrow t_2\) 。注意到此时的结果可以统一写为：
(414) \[\begin{equation}
U^{(2)}(t, t_0) = \frac{(- i)^2}{2} \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_2 \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_1 T\{H_I(t_1) H_I(t_2)\}
\end{equation}\]
其中\(T\) 是编时排序：
(415) \[\begin{equation}
T\{H_I(t_1) H_I(t_2)\} = \theta(t_1 - t_2) H_I(t_1) H_I(t_2) + \theta(t_2 - t_1) H_I(t_2) H_I(t_1)
\end{equation}\]
依此类推，我们可以得到\(U^{(n)}\) 的表达式：
(416) \[\begin{equation}
U^{(n)}(t, t_0) = \frac{(- i)^n}{n!} \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_n \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_{n-1} \cdots \int_{t_0}^t \mathrm{d} t_1 T\{H_I(t_1) H_I(t_2) \cdots H_I(t_n)\}
\end{equation}\]
所有这些项之和最后能写成一个紧凑的形式解：
(417) \[\begin{equation}
U(t, t_0) = T\{e^{-i \int_{t_0}^t \mathrm{d} t' H_I(t')}\}
\end{equation}\]
得到时间演化算符后，我们仍需解决如何描述真空的问题。对相互作用绘景的真空态作时间演化：
(418) \[\begin{equation}
e^{- i T H }| 0 \rangle
\end{equation}\]
在中间插入一组\(H\) 的完备态：
(419) \[\begin{equation}
e^{- i T H} | 0 \rangle = e^{- i T H } | \Omega \rangle \langle \Omega | 0 \rangle + \sum_{n=1}^\infty e^{- i T H } | n \rangle \langle n | 0 \rangle
\end{equation}\]
其中完整的真空态能量为
(420) \[\begin{equation}
E_0 = \langle \Omega | H | \Omega \rangle
\end{equation}\]
而激发态能量
(421) \[\begin{equation}
E_n = \langle n | H | n \rangle > E_0
\end{equation}\]
因此，当\(T \to \infty(1 - i \epsilon)\) 时，激发态的贡献将指数衰减，从而可以忽略激发态的贡献，得到：
(422) \[\begin{equation}
\lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} e^{- i T H} | 0 \rangle = \lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} e^{- i T E_0 } | \Omega \rangle \langle \Omega | 0 \rangle
\end{equation}\]
上式的成立假设了\(\langle \Omega | 0 \rangle \neq 0\) 。
因此完整的真空态被写为：
(423) \[\begin{equation}
| \Omega \rangle = \lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} \frac{e^{-i T H} | 0 \rangle}{ e^{-i TE_0} \langle \Omega | 0 \rangle }
\end{equation}\]
同理还有
(424) \[\begin{equation}
\langle \Omega | = \lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} \frac{\langle 0 | e^{-i T H}}{ e^{-i TE_0} \langle 0 | \Omega \rangle }
\end{equation}\]
顺便利用真空态的归一化条件：
(425) \[\begin{equation}
\langle \Omega | \Omega \rangle = 1
\end{equation}\]
我们还能得到
(426) \[\begin{equation}
1 = \lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} \frac{\langle 0 | e^{-i 2 T H} | 0 \rangle}{ e^{- i 2 TE_0} |\langle 0 | \Omega \rangle|^2 }
\end{equation}\]
或者
(427) \[\begin{equation}
\lim_{T \rightarrow \infty (1 - i \epsilon)} e^{- i 2 TE_0} |\langle 0 | \Omega \rangle|^2 = \lim_{T \to \infty(1 - i \epsilon)} \langle 0 | e^{-i 2 T H} | 0 \rangle = \lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} \langle 0 | U(T, -T) | 0 \rangle
\end{equation}\]
其中在第二个等式我们应用了\(H_0 | 0 \rangle = 0\) 的归一化条件，从而
(428) \[\begin{equation}
\lim_{T \to \infty (1- i \epsilon)} \langle 0 | e^{-i 2 T H} | 0 \rangle =
\lim_{T \to \infty (1- i \epsilon)} \langle 0 | e^{i T H_0} e^{-i T H} e^{-i T H} e^{i T H_0}| 0 \rangle = \lim_{T \to \infty (1- i \epsilon)} \langle 0 | U(T, 0) U^\dagger(-T, 0)| 0 \rangle
\end{equation}\]
这个公式提供了一个计算真空态能量的方法：两边取对数后得到
(429) \[\begin{equation}
E_0 = \lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} \frac{i}{2T} \log \langle 0 | U(T, -T) | 0 \rangle
\end{equation}\]
通过上面的结果，我们得到计算相互作用关联函数形式方法：
(430) \[\begin{equation}
\langle \Omega | T\{\phi(x_1) \phi(x_2) \cdots \phi(x_n)\} | \Omega \rangle = \lim_{T \to \infty (1 - i \epsilon)} \frac{\langle 0 | T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \cdots \phi(x_n) e^{- i \int_{-T}^T H_I(t') dt'} \} | 0 \rangle}{\langle 0 | U(T, -T) | 0 \rangle}
\end{equation}\]
其中等号左边为完整相互作用理论的场和真空，等式右边为相互作用绘景下的场和真空，此处为了方便在记号上不加区分。
对于一般的相互作用哈密顿量，上式的计算是非常困难的。但如果相互作用强度是一个小量，可以对上式作展开逐阶计算，即所谓的微扰论方法。如果只保留有限阶的项，则最终仅需计算形如
(431) \[\begin{equation}
\langle 0 | T\{ \phi(y_1) \phi(y_2) \cdots \phi(y_n) | 0 \rangle
\end{equation}\]
的关联函数，其中\(y_1 \,, \cdots\,, y_n\) 中可允许存在相同的点。我们接下来介绍的Wick定理可以很方便把这一类真空关联函数化为费曼传播子的乘积。
Wick定理
我们首先从两个场出发。考虑如下真空关联函数：
(432) \[\begin{equation}
\langle 0 | T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \} | 0 \rangle
\end{equation}\]
将相互作用绘景场写成：
(433) \[\begin{equation}
\phi(x) = \phi^+(x) + \phi^=(x)
\end{equation}\]
其中
(434) \[\begin{equation}
\phi^-(x) = \frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k }} a_{\boldsymbol{k}} e^{i k \cdot x} \,, \quad
\phi^+(x) = \frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k }} a_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{-i k \cdot x}
\end{equation}\]
\(\phi^+(x)\) 和\(\phi^-(x)\) 作用在左真空和右真空态分别给出
(435) \[\begin{equation}
\langle 0 | \phi^+(x) = 0 \,, \quad
\phi^-(x) | 0 \rangle = 0
\end{equation}\]
因此，在计算关联函数时可以尽量将\(\phi^+\) 放在左边，\(\phi^-\) 放在右边来简化计算。对于两个场的情况，假设\(x_1^0 > x_2^0\) ，我们有：
(436) \[\begin{align}
T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \} = &\ \phi(x_1) \phi(x_2)\\
\\
= &\ \phi^+(x_1) \phi^+(x_2) + \phi^+(x_1) \phi^-(x_2) + \phi^-(x_1) \phi^+(x_2) + \phi^-(x_1) \phi^-(x_2)
\\
= &\ \phi^+(x_1) \phi^+(x_2) + \phi^+(x_1) \phi^-(x_2) + \phi^+(x_2) \phi^-(x_1) + [\phi^-(x_1), \phi^+(x_2)] + \phi^-(x_1) \phi^-(x_2)
\\
= &\ :\phi(x_1) \phi(x_2) : + [\phi^-(x_1), \phi^+(x_2)]
\end{align}\]
同理，如果\(x_1^0 < x_2^0\) ，则
(437) \[\begin{equation}
T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \} = :\phi(x_1) \phi(x_2) : + [\phi^-(x_2), \phi^+(x_1)]
\end{equation}\]
在一般情况下可以统一写为
(438) \[\begin{equation}
T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \} = :\phi(x_1) \phi(x_2) : + \theta(x_1^0 - x_2^0) [\phi^-(x_1), \phi^+(x_2)] + \theta(x_2^0 - x_1^0) [\phi^-(x_2), \phi^+(x_1)]
\end{equation}\]
但注意到
(439) \[\begin{equation}
\theta(x_1^0 - x_2^0) [\phi^-(x_1), \phi^+(x_2)] + \theta(x_2^0 - x_1^0) [\phi^-(x_2), \phi^+(x_1)] = \Delta_F(x_1 - x_2)
\end{equation}\]
其中\(\Delta_F(x_1 - x_2)\) 是费曼传播子：
(440) \[\begin{equation}
\Delta_F(x_1 - x_2) = \int \frac{d^4 k}{(2 \pi)^4} \frac{i}{k^2 - m^2 + i \epsilon}
\end{equation}\]
因此，我们得到了两个场的Wick定理：
(441) \[\begin{equation}
T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \} = :\phi(x_1) \phi(x_2) : + \Delta_F(x_1 - x_2)
\end{equation}\]
其中我们将\(\Delta_F(x_1 - x_2)\) 称作\(T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \}\) 的一个Wick收缩项 。
对于\(n\) 个场的情况，我们不加证明的给出Wick定理（具体证明可见Peskin and Schroder）：
(442) \[\begin{equation}
T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \cdots \phi(x_n) \} = :\phi(x_1) \phi(x_2) \cdots \phi(x_n) + \text{所有可能的Wick收缩项} :
\end{equation}\]
例如对于四个场的情况，Wick定理给出：
(443) \[\begin{align}
T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \phi(x_3) \phi(x_4) \} = &\ :\phi(x_1) \phi(x_2) \phi(x_3) \phi(x_4):
\\
&\ + :\phi(x_1) \phi(x_2) : \Delta_F(x_3 - x_4) + :\phi(x_1) \phi(x_3): \Delta_F(x_2 - x_4)
\\
&\
+ :\phi(x_1) \phi(x_4): \Delta_F(x_2 - x_3) + :\phi(x_2) \phi(x_3): \Delta_F(x_1 - x_4)
\\
&\
+ :\phi(x_2) \phi(x_4): \Delta_F(x_1 - x_3) + :\phi(x_3) \phi(x_4): \Delta_F(x_1 - x_2)
\\
&\ + \Delta_F(x_1 - x_2) \Delta_F(x_3 - x_4) + \Delta_F(x_1 - x_3) \Delta_F(x_2 - x_4) + \Delta_F(x_1 - x_4) \Delta_F(x_2 - x_3)
\end{align}\]
对上述编时乘积求真空期望值时，所有的未收缩项都会消失，因此我们只需计算实现完全Wick收缩的乘积。例如，对于四个场的情况，我们有：
(444) \[\begin{equation}
\langle 0 | T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \phi(x_3) \phi(x_4) \} | 0 \rangle = \Delta_F(x_1 - x_2) \Delta_F(x_3 - x_4) + \Delta_F(x_1 - x_3) \Delta_F(x_2 - x_4) + \Delta_F(x_1 - x_4) \Delta_F(x_2 - x_3)
\end{equation}\]
Feynman规则
利用Wick定理计算真空关联函数可以表达成简单的图形规则，称为Feynman规则。例如，考虑如下四个场的真空关联函数：
(445) \[\begin{equation}
\langle 0 | T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \phi(x_3) \phi(x_4) \} | 0 \rangle
\end{equation}\]
上一节中的计算结果可以图形表示为：
我们的第二个例子是两点编时函数。在考虑相互作用后，真空两点编时函数的计算包括如下一项：
(446) \[\begin{equation}
\langle 0 | T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) e^{-i \frac{\lambda}{4!} \int d^4 x (\phi(x))^4 } \} | 0 \rangle
\end{equation}\]
简单起见，仅看\(\mathcal{O}(\lambda)\) 项，
(447) \[\begin{equation}
\langle 0 | T\{ \phi(x_1) \phi(x_2) \frac{-i \lambda}{4!} \int d^4 x (\phi(x))^4 \} | 0 \rangle
\end{equation}\]
利用Wick定理，我们有如下结果：
(448) \[\begin{equation}
3 \times \frac{-i \lambda}{4!} \times \Delta_F(x_1 - x_2) \Delta_F(0) \Delta_F(0)
+ 3 \times 4 \times \frac{-i \lambda}{4!} \times \Delta_F(x_1 - x) \Delta_F(x_2 - x) \Delta_F(0)
\end{equation}\]
这两项分别可对应如下两个图形
其中第一个图形前的数值因子为
(449) \[\begin{equation}
3 \times \frac{1}{4!} = \frac{1}{8}
\end{equation}\]
第二个图形前的数值因子为
(450) \[\begin{equation}
3 \times 4 \times \frac{1}{4!} = \frac{1}{2}
\end{equation}\]
这两个数值因子称为对应图形的对称因子。计算费曼图的对称因子可以通过上述Wick定理的应用得到，也可通过对图形拓扑结果的分析得到，具体请参阅Peskin。
一般来说，对于任意n点关联函数\(G(x_1, x_2, \cdots , x_n)\) ，在微扰论中均可通过费曼图的方式进行计算：
(451) \[\begin{equation}
G(x_1, x_2, \cdots , x_n) = \sum_{i} F_i(x_1, x_2, \cdots, x_n)
\end{equation}\]
其中求和遍历所有不等价费曼图，\(F_i\) 为相应的第\(i\) 个费曼图。
上面通过Wick定理求解的过程可浓缩为如下费曼规则（\(\lambda \phi^4\) 理论的费曼规则）：
对于每条内线（内线指的是两个顶点间的线）：乘以传播子\(\Delta_F(x_i - x_j)\)
对于每个内部顶点\(z\) ：乘以\(-i \lambda \int d^4 z\)
对于每个外部顶点：乘以\(1\)
除以相应费曼图的对称因子
以一个四点函数图为例:
由费曼规则得到其表达式为：
(452) \[\begin{equation}
-i \lambda \int d^4 z \, \Delta_F(x_1 - x_2) \Delta_F(x_3 - x_4) \Delta_F(x_1 - x_3) \Delta_F(x_2 - x_4)
\end{equation}\]
一般来说，这个表达式是一个复杂的积分，但在一些特殊情况下有可能有封闭解析解。例如，设\(m=0\) ，这时传播子变为
(453) \[\begin{equation}
\Delta_F(x_1 - x_2) = \int \frac{d^4 k}{(2 \pi)^4} \frac{i}{k^2 + i \epsilon} e^{-i k \cdot (x_1 - x_2)} = - \frac{1}{(2 \pi)^2} \frac{1}{(x_1 - x_2)^2 - i \epsilon}
\end{equation}\]
这时\(z\) 的积分可以解析积出来。感兴趣的同学可以自己试试，会有惊喜。
定义坐标空间关联函数的傅立叶变换：
(454) \[\begin{equation}
G(x_1, x_2, \cdots , x_n) = \int \frac{d^4 k_1}{(2 \pi)^4} \cdots \frac{d^4 k_n}{(2 \pi)^4} e^{-i k_1 \cdot x_1} \cdots e^{-i k_n \cdot x_n} G(k_1, k_2, \cdots , k_n)
\end{equation}\]
其中\(G(k_1, k_2, \cdots , k_n)\) 是动量空间的关联函数，其中\(k_i\) 的定义为流入\(x_i\) 的动量。对于\(\lambda \phi^4\) 理论，我们有如下计算\(G(k_1, k_2, \cdots , k_n)\) 的动量空间费曼规则：
对于每条内线：乘以传播子\(\frac{i}{k^2 - m^2 + i \epsilon}\)
对于每个内部顶点：乘以\(-i \lambda\)
对于每个内部顶点乘以动量守恒因子：\((2 \pi)^4\delta^4(p_1 + p_2 + p_3 + p_4)\) 其中\(p_i\) 是流入（或流出）这个顶点的动量
对每个内部动量（不直接进入外部顶点的动量），做动量积分：\(\int \frac{d^4 k}{(2 \pi)^4}\)
除以相应费曼图的对称因子
这里稍稍解释一下第三点。在用坐标空间费曼规则计算时，如果将所有传播子\(\Delta_F(x_i - x_j)\) 用其傅立叶变换表出，则对于每个内部顶点，我们需要做如下积分：
(455) \[\begin{equation}
\int d^4 z \, e^{-i (p_1 + p_2 + p_3 + p_4) \cdot z}
\end{equation}\]
其中\(p_i\) 是流入这个顶点的动量。更准确的说，我们要做的积分是
(456) \[\begin{equation}
\lim_{T \to \infty(1 - i \epsilon)} \int_{-T}^T dz^0 d^3 \boldsymbol{z} \, e^{-i (p_1 + p_2 + p_3 + p_4) \cdot z}
\end{equation}\]
或者写成
(457) \[\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty dz^0 d^3 \boldsymbol{z} \, e^{-i (p_1+ p_2 + p_3 + p_4)^0 z^0 (1 - i \epsilon) } e^{i (\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2+\boldsymbol{p}_3+\boldsymbol{p}_4) \cdot \boldsymbol{z}}
\end{equation}\]
由于\((1-i\epsilon)\) 因子的存在，上述积分似乎是发散的。但注意到，在定义费曼传播子的时候，\(p^0\) 的积分围道应从负频极点的下方绕过，正频极点的上方绕过。等价的，可以将\(p^0\) 替换为\(p^0 (1 + i \epsilon)\) 。因此，上述积分变为
(458) \[\begin{equation}
\int_{-\infty}^\infty dz^0 d^3 \boldsymbol{z} \, e^{-i (p_1+ p_2 + p_3 + p_4)^0 z^0 (1 + \epsilon^2) } e^{i (\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2+\boldsymbol{p}_3+\boldsymbol{p}_4) \cdot \boldsymbol{z}} = (2 \pi)^4 \delta^{(4)} (p_1 + p_2 + p_3 + p_4)
\end{equation}\]
这正是动量守恒因子。
