电磁形状因子和反常磁矩

电磁形状因子

我们之前讨论的都是量子场论的树图结果，这一章我们不再局限于树图。考虑电子和一个外部光子相互作用，但包含任意圈图修正。这里仅讨论一个外部光子是简单起见。相应的费曼图如下：

其中灰色圆代表所有可能的量子修正效应。这个图形称作电子的电磁形状因子。 考虑到洛伦兹对称性和CPT对称性，最一般的结果可以写为

(877)$$\overline{u}(p_2){\mathrm{\Gamma }}^{\mu }u(p_1)$$

其中${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }$可能有如下的洛伦兹结构展开：

(878)$$(p_1+p_2{)}^{\mu },q^{\mu },{\gamma }^{\mu },{\sigma }^{\mu \nu }{q}_{\nu },{\sigma }^{\mu \nu }(p_1+p_2{)}_{\nu }$$

其中

(879)$${\sigma }^{\mu \nu }=\frac{i}{2}[{\gamma }^{\mu },{\gamma }^{\nu }]$$

Wald恒等式要求

(880)$$q_{\mu }{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }=0$$

因此${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }$中不能包含$q^{\mu }$项。另外，在应用了运动方程后，${\sigma }^{\mu \nu }(p_1+p_2{)}_{\nu }$可以写成其余项的线性组合。借助Gordon恒等式：

(881)$$\overline{u}(p_2){\gamma }^{\mu }u(p_1)=\overline{u}(p_2)\frac{p_1^{\mu }+p_2^{\mu }}{2m}u(p_1)+\overline{u}(p_2)\frac{i{\sigma }^{\mu \nu }{q}_{\nu }}{2m}u(p_1)$$

我们最后可以将${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }$写成如下一般形式：

(882)$${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }=F_1(q^2){\gamma }^{\mu }+F_2(q^2)\frac{i{\sigma }^{\mu \nu }{q}_{\nu }}{2m}$$

其中$F_1(q^2)$称作狄拉克形状因子，$F_2(q^2)$泡利形状因子。我们下面讨论其物理意义。

狄拉克形状因子

首先看狄拉克形状因子。考虑电子在库伦场中的非相对论极限运动：

(883)$$p_1^{\mu }\sim (m,{\overrightarrow{p}}_1),p_2^{\mu }\sim (m,{\overrightarrow{p}}_2)$$

其中$m$是电子质量。转移动量可以写为

(884)$$q^{\mu }=p_2^{\mu }-p_1^{\mu }\sim (0,\overrightarrow{q}),\overrightarrow{q}={\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1$$

狄拉克旋量在这个极限下可以写为

(885)$$u_{s^{\prime }}(p_1)\sim \sqrt{m}\left(\begin{array}{c}{\xi }^{s^{\prime }}\\ {\xi }^{s^{\prime }}\end{array}\right){\overline{u}}_s(p_2)\sim \sqrt{m}\left(\begin{array}{cc}{\xi }^{s†}& {\xi }^{s†}\end{array}\right)$$

容易发现，在Weyl基下，非相对论极限下的狄拉克形状因子在极化空间是对角的，且只有${\gamma }^0$分量有贡献：

(886)$$({\xi }^{s†},{\xi }^{s†}){\gamma }^0\left(\begin{array}{c}{\xi }^{s^{\prime }}\\ {\xi }^{s^{\prime }}\end{array}\right)=2{\delta }^{s{s}^{\prime }}$$

(887)$$({\xi }^{s†},{\xi }^{s†}){\gamma }^i\left(\begin{array}{c}{\xi }^{s^{\prime }}\\ {\xi }^{s^{\prime }}\end{array}\right)=0$$

因此电子在库伦场中交换单光子的振幅在非相对论极限下可以写为：

(888)$$iM\stackrel{\mathrm{N}.\mathrm{R}.}{\simeq }(-ie)2{\delta }^{s{s}^{\prime }}{m}_e\frac{-i}{-{\overrightarrow{q}}^2}{F}_1(q^2)$$

忽略掉无关因子，我们可以定义一个非相对论势：

(889)$$U(\overrightarrow{r})=\int \frac{d^{3}q}{(2\pi {)}^3}{e}^{i\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}\frac{F_1(q^2)}{{\overrightarrow{q}}^2}$$

当$F_1(q^2)=1$时，我们知道这是一个库伦势，$U(\overrightarrow{r})\propto 1/r$。一般情形下，我们设这个非相对论势由一个带有一定电荷分布的库伦势产生：

(890)$$U(\overrightarrow{r})=\int d^3{r}^{\prime }\frac{\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|},$$

将其代回原公式，

(891)$$\begin{array}{rl}\frac{F_1(q^2)}{{\overrightarrow{q}}^2}=& \int d^{3}rU(\overrightarrow{r})e^{-i\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}\\ =& \int d^{3}r\int d^3{r}^{\prime }\frac{\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{e}^{-i\overrightarrow{q}\cdot \overrightarrow{r}}\\ =& \int d^3{r}^{\prime }\int d^3(r-r^{\prime })\frac{\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })}{|\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime }|}{e}^{-i\overrightarrow{q}\cdot (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}^{\prime })-i\overrightarrow{q}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}\\ =& \frac{1}{{\overrightarrow{q}}^2}\int d^3{r}^{\prime }\rho ({\overrightarrow{r}}^{\prime })e^{-i\overrightarrow{q}\cdot {\overrightarrow{r}}^{\prime }}\end{array}$$

因此我们发现$F_1(q^2)$是电荷密度分布函数的傅立叶变换。因此，通过实验测量$F_1(q^2)$，可以得到电子的电荷密度分布。当然，在QED的领头阶，$\rho (\overrightarrow{r})={\delta }^{(3)}(\overrightarrow{r})$，因此$F_1(q^2)=1+\mathcal{O}(\alpha )$。

泡利形状因子

接下来我们讨论泡利形状因子的物理意义。为了简单起见，我们仅讨论零动量极限$F_2(0)$的行为。我们把矢量当作经典外源处理。泡利形状因子可以通过如下的相互作用拉氏量引入：

(892)$$\mathcal{L}=\overline{\psi }(i{D}_{\mu }{\gamma }^{\mu }-m)\psi -\frac{e}{4m}{F}_2(0)\overline{\psi }{\sigma }^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }\psi$$

其中$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$和$D_{\mu }={\partial }_{\mu }+ie{A}_{\mu }$中的矢量场当作经典场处理。费米子场的运动方程可以写为

(893)$${\partial }_{\mu }\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\overline{\psi })}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overline{\psi }}=0$$

代入拉氏量表达式得到

(894)$$(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi =\frac{e}{4m}{F}_2(0){\sigma }^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }\psi$$

我们的目标是找到非相对论极限下费米子波函数的哈密顿量。为此，在上式左右乘上$(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }+m)$，左侧得到

(895)$$\begin{array}{rl}(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }+m)(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m)\psi =& (i{\partial }_{\mu }-e{A}_{\mu })(i{\partial }_{\nu }-e{A}_{\nu }){\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-m^2\\ =& -{\partial }_{\mu }{\partial }_{\nu }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }+e^2{A}_{\mu }{A}_{\nu }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{\nu }-m^2\\ =& (i\partial -eA{)}^2-\frac{e}{2}{\sigma }^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }-m^2\end{array}$$

而右侧为

(896)$$\frac{e}{4m}{F}_2(0){\sigma }^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }+m)\psi =\frac{1}{2}e{F}_2(0){\sigma }^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }\psi +\mathcal{O}(e^2)$$

整理后忽略$e^2项得到

(897)$$(i\partial -eA{)}^2\psi =(m^2+\frac{1+F_2(0)}{2}e{\sigma }^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu })\psi$$

我们希望将上述运动方程过渡回到非相对论性的薛定谔方程：

(898)$$i\frac{\partial }{\partial t}\psi =H\psi$$

为此我们左右两边取开根号并只保留感兴趣的项：

(899)$$i\frac{\partial }{\partial t}\psi =-\frac{e}{4m}(1+F_2(0)){\sigma }^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }\psi +\cdots$$

注意到

(900)$$\frac{e}{2}{F}_{\mu \nu }{\sigma }^{\mu \nu }=-e\left(\begin{array}{cc}(\overrightarrow{B}+i\overrightarrow{E})\cdot \sigma & 0\\ 0& (\overrightarrow{B}-i\overrightarrow{E})\cdot \sigma \end{array}\right)=-2e\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{S}+\text{Electric part}$$

其中

(901)$$\overrightarrow{S}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{\sigma }& 0\\ 0& \overrightarrow{\sigma }\end{array}\right)$$

是自旋算符。因此我们发现非相对论哈密顿量里包含一项：

(902)$$H_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}=\frac{e}{2m}2(1+F_2(0))\overrightarrow{S}\cdot \overrightarrow{B}+\cdots$$

这一项对应了电子的磁矩。狄拉克的相对论性量子力学预言$F_2(0)=0$。而相对论性量子场论将给出非零的修正。我们将在下一节讨论这个问题。