电磁形状因子
我们之前讨论的都是量子场论的树图结果，这一章我们不再局限于树图。考虑电子和一个外部光子相互作用，但包含任意圈图修正。这里仅讨论一个外部光子是简单起见。相应的费曼图如下：
其中灰色圆代表所有可能的量子修正效应。这个图形称作电子的电磁形状因子。
考虑到洛伦兹对称性和CPT对称性，最一般的结果可以写为
(877)\[\begin{equation}
\bar u(p_2) \Gamma^\mu u(p_1)
\end{equation}\]
其中\(\Gamma^\mu\)可能有如下的洛伦兹结构展开：
(878)\[\begin{equation}
(p_1+p_2)^\mu \,, \qquad q^\mu \,, \qquad \gamma^\mu \,, \qquad \sigma^{\mu\nu} q_\nu \,, \qquad \sigma^{\mu\nu} (p_1 + p_2)_\nu
\end{equation}\]
其中
(879)\[\begin{equation}
\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [ \gamma^\mu, \gamma^\nu]
\end{equation}\]
Wald恒等式要求
(880)\[\begin{equation}
q_\mu \Gamma^\mu = 0
\end{equation}\]
因此\(\Gamma^\mu\)中不能包含\(q^\mu\)项。另外，在应用了运动方程后，\(\sigma^{\mu\nu} (p_1 + p_2)_\nu\)可以写成其余项的线性组合。借助Gordon恒等式：
(881)\[\begin{equation}
\bar u(p_2) \gamma^\mu u(p_1) = \bar u(p_2) \frac{p_1^\mu + p_2^\mu}{2m} u(p_1) + \bar u(p_2) \frac{i \sigma^{\mu\nu} q_\nu}{2m} u(p_1)
\end{equation}\]
我们最后可以将\(\Gamma^\mu\)写成如下一般形式：
(882)\[\begin{equation}
\Gamma^\mu = F_1(q^2) \gamma^\mu + F_2(q^2) \frac{i \sigma^{\mu\nu} q_\nu}{2m}
\end{equation}\]
其中\(F_1(q^2)\)称作狄拉克形状因子，\(F_2(q^2)\)泡利形状因子。我们下面讨论其物理意义。
狄拉克形状因子
首先看狄拉克形状因子。考虑电子在库伦场中的非相对论极限运动：
(883)\[\begin{equation}
p_1^\mu \sim (m, \vec p_1) \,, \qquad p_2^\mu \sim (m, \vec p_2)
\end{equation}\]
其中\(m\)是电子质量。转移动量可以写为
(884)\[\begin{equation}
q^\mu = p_2^\mu - p_1^\mu \sim (0, \vec q) \,, \qquad \vec q = \vec p_2 - \vec p_1
\end{equation}\]
狄拉克旋量在这个极限下可以写为
(885)\[\begin{equation}
u_{s'}(p_1) \sim \sqrt{m} \begin{pmatrix}
\xi^{s'} \\
\xi^{s'}
\end{pmatrix}
\qquad
\bar u_s(p_2) \sim \sqrt{m} \begin{pmatrix}
\xi^{s\dagger} & \xi^{s\dagger}
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
容易发现，在Weyl基下，非相对论极限下的狄拉克形状因子在极化空间是对角的，且只有\(\gamma^0\)分量有贡献：
(886)\[\begin{equation}
(\xi^{s\dagger}, \xi^{s\dagger}) \gamma^0 \begin{pmatrix}
\xi^{s'} \\
\xi^{s'}
\end{pmatrix} = 2 \delta^{ss'}
\end{equation}\]
(887)\[\begin{equation}
(\xi^{s\dagger}, \xi^{s\dagger}) \gamma^i \begin{pmatrix}
\xi^{s'} \\
\xi^{s'}
\end{pmatrix} = 0
\end{equation}\]
因此电子在库伦场中交换单光子的振幅在非相对论极限下可以写为：
(888)\[\begin{equation}
iM \overset{\rm N.R.}{\simeq} (-ie) 2 \delta^{s s'} m_e \frac{-i}{- \vec q^2} F_1(q^2)
\end{equation}\]
忽略掉无关因子，我们可以定义一个非相对论势：
(889)\[\begin{equation}
U(\vec r) = \int \frac{d^3 q}{(2\pi)^3} e^{i \vec q \cdot \vec r} \frac{F_1(q^2)}{\vec q^2}
\end{equation}\]
当\(F_1(q^2 ) = 1\)时，我们知道这是一个库伦势，\(U(\vec r) \propto 1/r\)。一般情形下，我们设这个非相对论势由一个带有一定电荷分布的库伦势产生：
(890)\[\begin{equation}
U(\vec r) = \int d^3 r' \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} \,,
\end{equation}\]
将其代回原公式，
(891)\[\begin{align}
\frac{F_1(q^2)}{\vec q^2} = &\ \int d^3 r\, U(\vec r) e^{-i \vec q \cdot \vec r}
\\
=&\ \int d^3 r\, \int d^3 r' \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} e^{-i \vec q \cdot \vec r}
\\
=&\ \int d^3 r' \, \int d^3 (r - r')\, \frac{\rho(\vec r')}{|\vec r - \vec r'|} e^{-i \vec q \cdot (\vec r - \vec r') - i \vec q \cdot \vec r'}
\\
=&\ \frac{1}{\vec q^2} \int d^3 r' \rho(\vec r') e^{-i \vec q \cdot \vec r'}
\end{align}\]
因此我们发现\(F_1(q^2)\)是电荷密度分布函数的傅立叶变换。因此，通过实验测量\(F_1(q^2)\)，可以得到电子的电荷密度分布。当然，在QED的领头阶，\(\rho(\vec r) = \delta^{(3)}(\vec r)\)，因此\(F_1(q^2) = 1 + {\cal O}(\alpha)\)。
泡利形状因子
接下来我们讨论泡利形状因子的物理意义。为了简单起见，我们仅讨论零动量极限\(F_2(0)\)的行为。我们把矢量当作经典外源处理。泡利形状因子可以通过如下的相互作用拉氏量引入：
(892)\[\begin{equation}
{\cal L} = \bar \psi (i D_\mu \gamma^\mu - m) \psi - \frac{e}{4m} F_2(0) \bar \psi \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu} \psi
\end{equation}\]
其中\(F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu\)和\(D_\mu = \partial_\mu + i e A_\mu\)中的矢量场当作经典场处理。费米子场的运动方程可以写为
(893)\[\begin{equation}
\partial_\mu \frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_\mu\bar \psi)} - \frac{\partial {\cal L}}{\partial \bar \psi} = 0
\end{equation}\]
代入拉氏量表达式得到
(894)\[\begin{equation}
(i \gamma^\mu D_\mu - m) \psi = \frac{e}{4m} F_2(0) \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu} \psi
\end{equation}\]
我们的目标是找到非相对论极限下费米子波函数的哈密顿量。为此，在上式左右乘上\((i \gamma^\mu D_\mu + m)\)，左侧得到
(895)\[\begin{align}
(i \gamma^\mu D_\mu + m) (i \gamma^\mu D_\mu - m) \psi =&\ (i \partial_\mu - e A_\mu )(i \partial_\nu - e A_\nu) \gamma^\mu \gamma^\nu - m^2
\\
=&\ - \partial_\mu \partial_\nu \gamma^\mu \gamma^\nu + e^2 A_\mu A_\nu \gamma^\mu \gamma^\nu - m^2
\\
=&\ (i \partial - eA)^2 - \frac{e}{2} \sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu} - m^2
\end{align}\]
而右侧为
(896)\[\begin{equation}
\frac{e}{4m} F_2(0) \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu} (i \gamma^\mu D_\mu + m) \psi
= \frac{1}{2} e F_2(0) \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu} \psi + {\cal O}(e^2)
\end{equation}\]
整理后忽略$e^2项得到
(897)\[\begin{equation}
(i \partial - e A)^2 \psi = \left(m^2 + \frac{1 + F_2(0)}{2} e \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu}\right) \psi
\end{equation}\]
我们希望将上述运动方程过渡回到非相对论性的薛定谔方程：
(898)\[\begin{equation}
i \frac{\partial}{\partial t} \psi = H \psi
\end{equation}\]
为此我们左右两边取开根号并只保留感兴趣的项：
(899)\[\begin{equation}
i \frac{\partial}{\partial t} \psi = - \frac{e}{4 m} (1 + F_2(0)) \sigma^{\mu\nu} F_{\mu\nu} \psi + \cdots
\end{equation}\]
注意到
(900)\[\begin{equation}
\frac{e}{2} F_{\mu\nu} \sigma^{\mu\nu} = -e
\begin{pmatrix}
(\vec B + i \vec E) \cdot \sigma & 0
\\
0 & (\vec B - i \vec E) \cdot \sigma
\end{pmatrix} = -2 e \vec B \cdot \vec S + \text{Electric part}
\end{equation}\]
其中
(901)\[\begin{equation}
\vec S = \frac{1}{2} \begin{pmatrix}
\vec \sigma & 0
\\
0 & \vec \sigma
\end{pmatrix}
\end{equation}\]
是自旋算符。因此我们发现非相对论哈密顿量里包含一项：
(902)\[\begin{equation}
H_{\rm int} = \frac{e}{2 m} 2 (1 + F_2(0)) \vec S \cdot \vec B + \cdots
\end{equation}\]
这一项对应了电子的磁矩。狄拉克的相对论性量子力学预言\(F_2(0) = 0\)。而相对论性量子场论将给出非零的修正。我们将在下一节讨论这个问题。
