自由标量场量子化
经典标量场
这一节我们重温经典场论的拉格朗日和哈密顿描述。对于分立系统，例如势场中的\(N\)个质点，它的拉格朗日量可以写为动能项减势能项：
(132)\[\begin{equation}
L = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m_i \dot{\vec{r}}_i^2 - V(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, \vec{r}_N)
\end{equation}\]
对于一个简单的1+1维场论，如一维弦在平衡位置附近的垂直振动问题，我们先做分立化处理。我们将弦分为\(N\)段，每段长为\(a\)，每段近似为一个质点，质点质量为\(m\)。分立化后弦的总动能为
(133)\[\begin{equation}
T = \sum_{i=1}^N \frac{1}{2} m \dot{u}_i^2
\end{equation}\]
其中\(u_i\)为第\(i\)个质点相对平衡位置的位移。第\(i\)个质点在平行于弦方向的总受力为\(0\)，第\(i-1\)个质点对第\(i\)个质点在垂直方向的作用力为
(134)\[\begin{equation}
F_{i, i-1} = \frac{\tau}{a} (u_{i-1} - u_i)
\end{equation}\]
其中\(\tau\)为弦的张力。第\(i+1\)个质点对第\(i\)个质点在垂直方向的作用力为
(135)\[\begin{equation}
F_{i, i+1} = \frac{\tau}{a} (u_{i+1} - u_i)
\end{equation}\]
第\(i\)个质点仅受到其相邻质点的作用力，因此第\(i\)个质点在垂直方向的总受力为
(136)\[\begin{equation}
F_i = F_{i, i-1} + F_{i, i+1} = \frac{\tau}{a} (u_{i-1} + u_{i+1} - 2u_i)
\end{equation}\]
假设\(F_i\)由势场\(V(u)\)产生，即
(137)\[\begin{equation}
F_i = - \frac{\partial V}{\partial u_i}
\end{equation}\]
则势场\(V(u)\)为
(138)\[\begin{equation}
V(u) = \frac{\tau}{2a} \sum_{i=1}^N (u_{i+1} - u_i)^2
\end{equation}\]
在连续极限\(a \to 0\)下，动能和势能分别变为
(139)\[\begin{align}
T &= \frac{1}{2} \int_0^L \rho \dot{u}^2 \mathrm{d}x \\
V &= \frac{\tau}{2} \int_0^L (\partial_x u)^2 \mathrm{d}x
\end{align}\]
其中\(\rho = m/a\)为弦的线密度。注意到原本每个质点的标签\(i\)已由一个连续变量\(x\)替代。因此弦的拉格朗日量可以写为
(140)\[\begin{equation}
L = \int_0^L \left( \frac{1}{2} \rho \dot{u}^2 - \frac{\tau}{2} (\partial_x u)^2 \right) \mathrm{d}x
\end{equation}\]
弦的作用量是对拉格朗日密度的积分
(141)\[\begin{equation}
S = \int_{-\infty}^\infty L \mathrm{d}t
\end{equation}\]
可以定义弦的拉格朗日密度
(142)\[\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \rho \dot{u}^2 - \frac{\tau}{2} (\partial_x u)^2
\end{equation}\]
这时作用量写为
(143)\[\begin{equation}
S = \int_{-\infty}^\infty \int_0^L \mathcal{L} \mathrm{d}x \mathrm{d}t
\end{equation}\]
上面的例子告诉我们，对于一个场，我们关心的是其拉格朗日密度。上面的例子里，拉格朗日密度是场的一次导数的函数，因此是相互作用是*定域(local)*的。为什么场的二次导数会导致非定域性？考虑二次导数\(\partial_x^2 u\)，分立化后可以写为
(144)\[\begin{equation}
\partial_x^2 u = \frac{u_{i+1} + u_{i-1} - 2u_i}{a^2}
\end{equation}\]
可以看见，这一项包含了\(u_{i-1}\)和\(u_{i+1}\)的耦合，因此是非定域的。
有了这个准备，我们可以开始构造四维自由实标量场的拉格朗日密度，它应满足如下条件：
我们将这个场记为\(\phi(x)\)，其中\(x\)是四维时空坐标，\(\phi(x) \in \mathbb{R}\)。对场的变换存在主动和被动两种：
被动变换观点，即场保持不动，观察者或者说坐标系发生了变换。在洛伦兹变换\(\Lambda\)下，场变为
(145)\[\begin{equation}
\phi(x) \to \phi'(x) = \phi(\Lambda x)
\end{equation}\]
对于主动变换（本课程将采取的主要观点），即场本身做了一个变换，则上式应写为
(146)\[\begin{equation}
\phi(x) \to \phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)
\end{equation}\]
拉格朗日密度仅包含定域相互作用，即最多仅包含\(\phi\)的一次导数。
为了进一步简化，我们这一章只讨论自由场论，对应的拉个郎日密度只包含\(\phi\)的二次项。因此，它的欧拉-拉格朗日方程是线性方程，没有相互作用。
我们将考虑\(D=3+1\)维时空，作用量写为四维拉格朗日密度的积分：
(147)\[\begin{equation}
S = \int \mathcal{L} \mathrm{d}^4 x
\end{equation}\]
由于\(\mathrm{d}^4 x = \mathrm{d} x^0 \mathrm{d} x^1 \mathrm{d} x^2 \mathrm{d} x^3\)是洛伦兹不变量，因此\(\mathcal{L}\)也必须是洛伦兹不变量。在上面列出的约束下，唯一能写下的形式为
(148)\[\begin{equation}
\mathcal{L} = a \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - b \phi^2
\end{equation}\]
其中\(a\)和\(b\)为实常数。后面我将对它们再加以约束。
正则量子化回顾
考虑\(N\)个粒子的作用量
(149)\[\begin{equation}
S = \int L(q^a, \dot{q}^a) \mathrm{d}t \,, \qquad a = 1, 2, \cdots, N
\end{equation}\]
经典解对应作用量的极值点，对于任意的正则坐标和速度变分，经典解的作用量变分为零：
(150)\[\begin{equation}
\delta S = \int \sum_{a=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q^a} \delta q^a + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \delta \dot{q}^a \right) \mathrm{d}t = 0
\end{equation}\]
交换求导和求和的顺序，并忽略掉全导数项，上式可以写为
(151)\[\begin{equation}
\int \sum_{a=1}^N \left( \frac{\partial L}{\partial q^a} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \right) \delta q^a \mathrm{d}t = 0
\end{equation}\]
由于\(\delta q^a\)是任意的，因此得到欧拉-拉格朗日方程
(152)\[\begin{equation}
\frac{\partial L}{\partial q^a} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} = 0
\end{equation}\]
对这个系统的正则量子化需要求其哈密顿量和正则动量。定义正则动量为
(153)\[\begin{equation}
p_a = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a}
\end{equation}\]
则哈密顿量为
(154)\[\begin{equation}
H(q^a, p^a) = \sum_{a=1}^N p^a \dot{q}^a(q^a,p^a) - L(q^a, \dot{q}^a(q^a,p^q))
\end{equation}\]
其中我们已显式将速度写作\(q^a\)和\(p^a\)的函数。对哈密顿量求全微分，得到：
(155)\[\begin{align}
\mathrm{d}H &= \sum_{a=1}^N \left( \frac{\partial H}{\partial q^a} \mathrm{d}q^a + \frac{\partial H}{\partial p^a} \mathrm{d}p^a \right) \\
&= \sum_{a=1}^N \left[ \dot{q}^a \mathrm{d}p^a + p^a \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \mathrm{d} \dot{q}^a - \frac{\partial L}{\partial q^a} \mathrm{d}q^a - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^a} \mathrm{d} \dot{q}^a \right]\\
&= \sum_{a=1}^N \left[ \dot{q}^a \mathrm{d}p^a - \frac{\partial L}{\partial q^a} \mathrm{d}q^a \right] \\
&= \sum_{a=1}^N \left[ \dot{q}^a \mathrm{d}p^a - \dot{p}^a \mathrm{d}q^a \right]
\end{align}\]
因此我们得到具有一阶形式的哈密顿方程：
(156)\[\begin{equation}
\dot{q}^a = \frac{\partial H}{\partial p^a} \,, \qquad \dot{p}^a = - \frac{\partial H}{\partial q^a}
\end{equation}\]
下面我们对这个系统进行量子化。将\(p\)和\(q\)提升为算符\(\hat{p}\)和\(\hat{q}\)。在海森堡表象下，态是不含时的，而算符有时间依赖。引入等时对易关系
(157)\[\begin{equation}
[\hat{q}^a(t), \hat{p}^b(t)] = i \delta^{ab}
\end{equation}\]
其它对易关系为零：
(158)\[\begin{equation}
[\hat{q}^a(t), \hat{q}^b(t)] = 0 \,, \qquad [\hat{p}^a(t), \hat{p}^b(t)] = 0
\end{equation}\]
在海森堡表象下，不显含时间以来的算符的时间演化由海森堡方程给出：
(159)\[\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \hat{A}(t) = -i [\hat{A}(t), \hat{H}(t)]
\end{equation}\]
解得：
(160)\[\begin{equation}
\hat{A}(t) = e^{i \hat{H} t} \hat{A}(0) e^{-i \hat{H} t}
\end{equation}\]
简谐振子和阶梯算符
上面给出的是一般的量子化步骤。但事实上我们大部分时间处理的是简谐振子。它的哈密顿量为
(161)\[\begin{equation}
\hat{H} = \frac{1}{2m} \hat{P}^2 + \frac{1}{2} m \omega^2 \hat{X}^2
\end{equation}\]
其中\(\hat{P}\)和\(\hat{X}\)分别是动量算符和位置算符，满足
(162)\[\begin{equation}
[\hat{X}, \hat{P}] = i
\end{equation}\]
为了简化这个方程，作如下的变换：
(163)\[\begin{equation}
\hat{a} = \sqrt{\frac{m \omega}{2}} \hat{X} + \frac{i}{\sqrt{2 m \omega}} \hat{P} \,, \qquad \hat{a}^\dagger = \sqrt{\frac{m \omega}{2}} \hat{X} - \frac{i}{\sqrt{2 m \omega}} \hat{P}
\end{equation}\]
容易验证简谐振子的哈密顿量可以写为
(164)\[\begin{equation}
\hat{H} = \omega \left( \hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2} \right)
\end{equation}\]
这里\(\hat{a}\)和\(\hat{a}^\dagger\)分别是湮灭算符和产生算符，满足
(165)\[\begin{equation}
[\hat{a}, \hat{a}^\dagger] = 1\,, \quad [\hat{a}, \hat{a}] = [\hat{a}^\dagger, \hat{a}^\dagger] = 0
\end{equation}\]
他们与哈密顿量的对易关系为
(166)\[\begin{equation}
[\hat{H}, \hat{a}] = - \omega \hat{a} \,, \qquad [\hat{H}, \hat{a}^\dagger] = \omega \hat{a}^\dagger
\end{equation}\]
设\(|E\rangle\)是哈密顿量的能量本征态，
(167)\[\begin{equation}
\hat{H} |E\rangle = E |E\rangle
\end{equation}\]
则在产生湮灭算符作用后仍然是能量本征态：
(168)\[\begin{equation}
\hat{H} \hat{a}^\dagger |E\rangle = (E + \omega) \hat{a}^\dagger |E\rangle \,, \qquad \hat{H} \hat{a} |E\rangle = (E - \omega) \hat{a} |E\rangle
\end{equation}\]
但相应的能量增加或减少\(\omega\)。一个稳定的量子系统要求存在最低能态。因此，必然存在某个态\(|0\rangle\)，使得
(169)\[\begin{equation}
\hat{a} |0\rangle = 0
\end{equation}\]
这个态称作基态。注意到简谐振子基态也具有非零能量
(170)\[\begin{equation}
\hat{H} |0\rangle = \frac{\omega}{2} |0\rangle
\end{equation}\]
称作零点能。我们可以通过产生算符作用在基态上得到一系列态
(171)\[\begin{equation}
|n\rangle = \frac{(\hat{a}^\dagger)^n}{\sqrt{n!}} |0\rangle
\end{equation}\]
其中因子\(1/\sqrt{n!}\)是为了归一化，\(n\)称作占有数。容易得到，不同占有数的态是正交的：
(172)\[\begin{equation}
\langle m | n \rangle = \delta^{mn}
\end{equation}\]
这些态称作Fock态。它们是哈密顿量的本征态，本征值为
(173)\[\begin{equation}
\hat{H} |n\rangle = \omega \left( n + \frac{1}{2} \right) |n\rangle
\end{equation}\]
克莱因-戈登场的经典解
下面回到自由实标量场：
(174)\[\begin{equation}
\mathcal{L} = a \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi + b \phi^2
\label{eq:free_scalar_field}
\end{equation}\]
此时的作用量变分写为
(175)\[\begin{equation}
\delta S = \int \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta (\partial_\mu \phi) \right) \mathrm{d}^4 x
\end{equation}\]
交换求导和求和的顺序，并忽略掉全导数项，上式可以写为
(176)\[\begin{equation}
\int \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) \delta \phi \mathrm{d}^4 x = 0
\end{equation}\]
由于\(\delta \phi\)是任意的，因此得到自由实标量场的欧拉-拉格朗日方程
(177)\[\begin{equation}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = 0
\end{equation}\]
将我们的拉格朗日密度代入即得到
(178)\[\begin{equation}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} = 2 b \phi \,, \qquad \partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = 2 a \partial_\mu \partial^\mu \phi
\end{equation}\]
因此
(179)\[\begin{equation}
a \partial_\mu \partial^\mu \phi + b \phi = 0
\end{equation}\]
此时正则动量为
(180)\[\begin{equation}
\pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\dot \phi)} = 2 a \dot{\phi}
\end{equation}\]
哈密顿量密度为
(181)\[\begin{equation}
\mathcal{H} = \pi \dot{\phi} - \mathcal{L} = a (\dot\phi)^2 + a (\nabla \phi)^2 + b \phi^2
\end{equation}\]
哈密顿量密度对应了场的能量密度。能量密度的半正定性要求
(182)\[\begin{equation}
a \geq 0 \,, \qquad b \leq 0
\end{equation}\]
不妨令
(183)\[\begin{equation}
a = \frac{1}{2} \,, \qquad b = - \frac{1}{2} m^2
\end{equation}\]
其中\(m\)是实数。此时拉格朗日密度变为
(184)\[\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\end{equation}\]
对应的场称作克莱因-戈登场。它的欧拉-拉格朗日方程为
(185)\[\begin{equation}
\partial_\mu \partial^\mu \phi + m^2 \phi = 0
\end{equation}\]
日后我们会将\(\phi\)和\(\pi\)提升为算符，并讨论它们的等时对易关系。因此这里我们仅对其空间分量作傅立叶变换：
(186)\[\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x}, t) = \int \frac{d^3 k}{\sqrt{(2\pi)^3}} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} \tilde\phi(\boldsymbol{k}, t)
\end{equation}\]
此时克莱因-戈登方程变为
(187)\[\begin{equation}
\partial_t^2 \tilde\phi(\boldsymbol{k}, t) + \omega_k^2 \tilde\phi(\boldsymbol{k}, t) = 0
\end{equation}\]
其中\(\omega_k = \sqrt{\vec{k}^2 + m^2}\)。这是一个简谐振子方程，利用\(\phi(\boldsymbol{x}, t)= \phi^*(\boldsymbol{x}, t)\)，这个方程的解可以写为
(188)\[\begin{equation}
\tilde\phi(\vec{k}, t) = \frac{a_{\boldsymbol{k}}}{\sqrt{2 \omega_k}} e^{-i \omega_k t}
+ \frac{a_{-\boldsymbol{k}}^*}{\sqrt{2 \omega_k}} e^{i \omega_k t}
\end{equation}\]
其中因子\(\sqrt{2 \omega_k}\)纯粹是一种约定，不同参考书可能采用不同的约定。
克莱因-戈登场的量子化
仿照点粒子系统的量子化，我们将\(\phi\)和\(\pi\)提升为算符，对应的\(a_{\boldsymbol{k}}\)和\(a_{\boldsymbol{k}}^*\)也提升为算符。这时场算符和动量算符的自由场展开可以写为
(189)\[\begin{equation}
\phi(\boldsymbol{x}, t) = \int \frac{d^3 k}{\sqrt{(2\pi)^3}} \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k}} \left( a_{\boldsymbol{k}} e^{-i k \cdot x} + a_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i {k} \cdot {x}} \right)
\end{equation}\]
(190)\[\begin{equation}
\pi(\boldsymbol{x}, t) = -i \int \frac{d^3 k}{\sqrt{(2\pi)^3}} \sqrt{\frac{\omega_k}{2}} \left( a_{\boldsymbol{k}} e^{-i {k} \cdot {x}} - a_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i {k} \cdot {x}} \right)
\end{equation}\]
注意此处指数上的宗量已变为\(k \cdot x = \omega_k t - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}\)。
量子化后它们应满足等时对易关系：
(191)\[\begin{equation}
[\phi(\boldsymbol{x}, t), \pi(\boldsymbol{y}, t)] = i \delta^{(3)}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})
\end{equation}\]
其它对易关系为零：
(192)\[\begin{equation}
[\phi(\boldsymbol{x}, t), \phi(\boldsymbol{y}, t)] = 0 \,, \qquad [\pi(\boldsymbol{x}, t), \pi(\boldsymbol{y}, t)] = 0
\end{equation}\]
读者可能会存在疑问，我们之所以走相对论协变场的展开这一复杂路径的目的在于追求因果律。但是等时对易关系显式破坏了协变性。最终结果是否能保持因果律，我们暂且留下这个问题。
从\(\phi\)和\(\pi\)的自由场展开可以反推出\(a_{\boldsymbol{k}}\)和\(a_{\boldsymbol{k}}^\dagger\)的表达式。由于\(a_{\boldsymbol{k}}\)和\(a_{\boldsymbol{k}}^\dagger\)不含时，不妨取\(t=0\)。此时
(193)\[\begin{equation}
\int \frac{d^3x}{\sqrt{(2\pi)^3}} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} \phi(\boldsymbol{x}, 0) = \frac{1}{\sqrt{2 \omega_k}} ( a_{\boldsymbol{k}} + a_{-\boldsymbol{k}}^\dagger )
\end{equation}\]
(194)\[\begin{equation}
\int \frac{d^3x}{\sqrt{(2\pi)^3}} e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} \pi(\boldsymbol{x}, 0) = -i \sqrt{\frac{\omega_k}{2}} ( a_{\boldsymbol{k}} - a_{-\boldsymbol{k}}^\dagger )
\end{equation}\]
上述两式解出
(195)\[\begin{equation}
a_{\boldsymbol{k}} = i \sqrt{\frac{1}{2 \omega_k}} \int \frac{d^3x}{\sqrt{(2\pi)^3}} e^{i {k} \cdot {x}} \left( \pi(\boldsymbol{x}, 0) - i \omega_k \phi(\boldsymbol{x}, 0) \right)
\end{equation}\]
(196)\[\begin{equation}
a_{\boldsymbol{k}}^\dagger = -i \sqrt{\frac{1}{2 \omega_k}} \int \frac{d^3x}{\sqrt{(2\pi)^3}} e^{- i {k} \cdot {x}} \left( \pi(\boldsymbol{x}, 0) + i \omega_k \phi(\boldsymbol{x}, 0) \right)
\end{equation}\]
由于\(a_{\boldsymbol{k}}\)和\(a_{\boldsymbol{k}}^\dagger\)不含时，上式可以用任意时刻的场写为更协变的形式
(197)\[\begin{equation}
a_{\boldsymbol{k}} = i \sqrt{\frac{1}{2 \omega_k}} \int \frac{d^3x}{\sqrt{(2\pi)^3}} e^{i k \cdot x} \left( \pi(\boldsymbol{x}, t) - i \omega_k \phi(\boldsymbol{x}, t) \right)
\end{equation}\]
(198)\[\begin{equation}
a_{\boldsymbol{k}}^\dagger = -i \sqrt{\frac{1}{2 \omega_k}} \int \frac{d^3x}{\sqrt{(2\pi)^3}} e^{-i k \cdot x} \left( \pi(\boldsymbol{x}, t) + i \omega_k \phi(\boldsymbol{x}, t) \right)
\end{equation}\]
简单的计算后得到\(a_{\boldsymbol{k}}\)和\(a_{\boldsymbol{k}}^\dagger\)的对易关系为
(199)\[\begin{equation}
[a_{\boldsymbol{k}}, a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger] = \delta^{(3)}(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')
\end{equation}\]
其它对易关系为零：
(200)\[\begin{equation}
[a_{\boldsymbol{k}}, a_{\boldsymbol{k}'}] = [a_{\boldsymbol{k}}^\dagger, a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger] = 0
\end{equation}\]
我们将会看到，\(a_{\boldsymbol{k}}\)和\(a_{\boldsymbol{k}}^\dagger\)对应了给定动量模式\(\boldsymbol{k}\)的粒子的湮灭算符和产生算符。
下面我们来求哈密顿量：
(201)\[\begin{align}
H &= \int \mathcal{H} \mathrm{d}^3 x \\
&= \int \left( \frac{1}{2} \dot\phi^2 + \frac{1}{2} (\nabla \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \right) \mathrm{d}^3 x \\
&= \frac{1}{2} \int \frac{d^3k}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k}} \int \frac{d^3k'}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_{k'}}} \int d^3 x\\
& \times \Big[ a_\boldsymbol{k} a_{\boldsymbol{k}'} (- \omega_k \omega_{k'} - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}' + m^2) e^{- i ({k} + {k}') \cdot {x}} \\
& + a_\boldsymbol{k} a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger (\omega_k \omega_{k'} + \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}' + m^2) e^{- i ({k} - {k}') \cdot {x}} \\
& + a_\boldsymbol{k}^\dagger a_{\boldsymbol{k}'} ( \omega_k \omega_{k'} + \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}' + m^2) e^{i ({k} - {k}') \cdot {x}} \\
& + a_\boldsymbol{k}^\dagger a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger (- \omega_k \omega_{k'} - \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}' + m^2) e^{i ({k} + {k}') \cdot {x}} \Big]
\\
&= \frac{1}{2} \int d^3 k \omega_k \left( a_\boldsymbol{k} a_{\boldsymbol{k}}^\dagger + a_\boldsymbol{k}^\dagger a_{\boldsymbol{k}} \right) \\
&= \int d^3 k \Big(\omega_k a_\boldsymbol{k}^\dagger a_{\boldsymbol{k}} + \frac{\omega_k}{2} \delta^{(3)}(\boldsymbol{0}) \Big)
\end{align}\]
容易验证，产生湮灭算符与哈密顿量的对易子为
(202)\[\begin{equation}
[H, a_{\boldsymbol{k}}] = - \omega_k a_{\boldsymbol{k}} \,, \qquad [H, a_{\boldsymbol{k}}^\dagger] = \omega_k a_{\boldsymbol{k}}^\dagger
\end{equation}\]
因此，这两个算符确实符合产生湮灭算符的期待。因此，我们期待存在一个基态\(|0\rangle\)，使得
(203)\[\begin{equation}
a_{\boldsymbol{k}} |0\rangle = 0\,, \qquad \forall \boldsymbol{k}
\end{equation}\]
我们把基态也称作真空态。真空态的能量为
(204)\[\begin{equation}
H |0\rangle = \int d^3 k \left(\omega_k a_\boldsymbol{k}^\dagger a_{\boldsymbol{k}} |0\rangle + \frac{\omega_k}{2} \delta^{(3)}(\boldsymbol{0}) \right)|0\rangle =
\int d^3 k \frac{\omega_k}{2} \delta^{(3)}(\boldsymbol{0}) |0\rangle
\end{equation}\]
利用傅立叶变化式：
(205)\[\begin{equation}
\delta^{(3)}(\boldsymbol{0}) = \int \frac{d^3 x}{(2\pi)^3} e^{i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{0}}
\end{equation}\]
因此基态能量又可写为对全空间体积的积分
(206)\[\begin{equation}
H |0\rangle = \int d^3 x \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{\omega_k}{2} |0\rangle
\end{equation}\]
其中每一点处的能量密度为
(207)\[\begin{equation}
\int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{\omega_k}{2}
\end{equation}\]
这是一个无穷大量。它的起源来自于简谐振子的零点能，但自由场是无穷个不同波数的简谐振子的叠加，因此给出了无穷大的能量密度。这导致了一个严肃的问题，我们如何解释这个无穷大？可以有几种不同观点：
(208)\[\begin{equation}
Q = p^3 q^2
\end{equation}\]
我们量子化后到底应写为
(209)\[\begin{equation}
\hat{Q} = \hat{p}^3 \hat{q}^2
\end{equation}\]
还是
(210)\[\begin{equation}
\hat{Q} = \hat{q}^2 \hat{p}^3
\end{equation}\]
抑或是还有其它写法？为了去掉这种模糊性，我们可以约定一种统一的排序，称作正规排序。在正规排序下，所有产生算符都写在最左边，所有湮灭算符都写在最右边，用符号\(::\)标记。例如
(211)\[\begin{equation}
:a_\boldsymbol{k} a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}: = a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_\boldsymbol{k} a_\boldsymbol{k}
\end{equation}\]
这里的\(\boldsymbol{k}\)也可以是不同的。
由于湮灭算符与湮灭算符，产生算符与产生算符互相是对易的，因此正规排序是唯一确定的。在正规排序下，哈密顿量变为
(212)\[\begin{align}
H = &\ \frac{1}{2} \int d^3 k \omega_k ( :a_\boldsymbol{k}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}:
+ :a_\boldsymbol{k} a_{\boldsymbol{k}}^\dagger: )\\
= &\ \int d^3 k \omega_k a_\boldsymbol{k}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}
\end{align}\]
这时不需要再担心零点能问题。注意，正规排序只是一种约定，在这种约定下零点能不出现。
