量纲分析
首先我们回顾量纲分析的简单事实。在一个\(d\)维量子场论中，其作用量写为
(973)\[\begin{equation}
S =
\int d^d x \, {\cal L}
\end{equation}\]
在自然单位制下，\(S\)无量纲，\([S]=0\)，因此\([{\cal L}] = d\)。场的量纲通过动能项可以唯一确定。例如，对于标量场，
(974)\[\begin{equation}
[\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi] = d
\Rightarrow [\phi] = \frac{d}{2} - 1 \overset{d=4} = 1
\end{equation}\]
对于费米子场，
(975)\[\begin{equation}
[\bar \psi i \gamma^\mu \partial_\mu \psi] = d
\Rightarrow [\psi] = \frac{d}{2} - \frac{1}{2} \overset{d=4} = \frac{3}{2}
\end{equation}\]
而对于矢量场，
(976)\[\begin{equation}
[\partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu] = d
\Rightarrow [A_\mu] = \frac{d}{2} - 1 \overset{d=4} = 1
\end{equation}\]
如不加说明，我们在下述讨论中让\(d=4\)。对于一个一般的标量场，其拉氏量可以写为
(977)\[\begin{equation}
{\cal L} = \frac{1}{2} (\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - m^2 \phi^2) + \sum_{n=3}^\infty \frac{C_n}{n!} \phi^n
\end{equation}\]
其中我们保留了任意高阶的多项式耦合。量纲分析知道耦合的量纲为
(978)\[\begin{equation}
[C_n] = 4 - n
\end{equation}\]
因此，对于\(n > 4\)，有\([C_n]<0\)，即这些耦合是无量纲的。
我们有如下定义：
耦合常数不含负质量量纲的理论称作可重整理论。
耦合常数含有负质量量纲的理论称作不可重整理论。
耦合常数量纲均大于零的理论称作超可重整理论。
下面我们将解释上述结论。
表观发散度
对于一个任意的费曼积分，
(979)\[\begin{equation}
I = \prod_{i=1}^L \int \frac{d^4 k_i}{(2 \pi)^4} \frac{{\cal N}_r(k,\{p\})}{D_{S,1}(k,\{p\}) \cdots D_{S,N_S}(k,\{p\}) D_{F,1}(k,\{p\}) \cdots D_{F,N_F}(k,\{p\})}
\end{equation}\]
其中\({\cal N}_r(k,\{p\})\)是圈动量\(k\)的\(r\)次多项式，\(D_{S,i}(k,\{p\}) = k^2 + \cdots\)是\(k\)的二次多项式，\(D_{F,i}(k,\{p\}) = k\!\!\! \big / + \cdots\)是\(k\)的一次多项式。\(p\)是外动量。我们定义这个积分的表观发散度为
(980)\[\begin{equation}
\omega = 4L + r - 2N_S - N_F
\end{equation}\]
注意一个费曼积分或费曼图的表观发散度并不一定与其实际发散度相等。这是因为可能存在对称性原因使得某些发散项为零。
可重整性证明
不失一般性，相互作用拉氏量中的一个任意项可以用如下算符示意性表示：
(981)\[\begin{equation}
C_{\cal O}{\cal O} = \partial^{n_d} \phi^{n_b} \psi^{n_f}
\end{equation}\]
其中\(n_d\)是求导的个数，\(n_b\)是标量场个数，\(n_f\)是费米子场个数，\(C_{\cal O}\)是耦合常数。由于标量场与矢量场在四维具有相同量纲，这里我们对它们不加区分。
要求相互作用拉氏量的量纲为4，我们有
(982)\[\begin{equation}
[C_{\cal O} {\cal O}] = 4 \Rightarrow
[C_{\cal O}] = 4 - n_d - n_b - \frac{3}{2} n_f
\end{equation}\]
现在我们来看一个复杂的费曼图，它包含
(983)\[\begin{equation}
D = 4L + \sum_{v} n_d(v) - 2P_b - P_f
\end{equation}\]
我们希望讲费曼图的表观发散度与其包含的相互作用顶点的耦合常数量纲联系起来。为此，我们注意到在这个费曼图中出现的每一个顶点都可以对应到某个相互作用算符\({\cal O_v}(n_d, n_b, n_f)\)。通过这个相互作用顶点所贡献的表观发散度为
(984)\[\begin{equation}
D_v = n_d({\cal v}) - 2 n_b({\cal v}) - n_f ({\cal v})
\end{equation}\]
如果我们将每个顶点所贡献的表观发散度求和，并考虑到被两个顶点连接的同一条内线应只计算一次这个要求，就能得到这个费曼图的表观发散度的另一个公式：
(985)\[
\begin{equation}
D = 4 L + \sum_v n_d(v) + \left[ \sum_v (-2 n_b(v) - n_f (v)) + 2 E_b + E_f \right]/2
\end{equation}
\]
其中加上\(2 E_b\)和\(E_f\)的原因是外线并不贡献表观发散度，但在求和顶点的过程中把它们误考虑进去了。
欧拉关于多面体的面\((F)\)、线\((E)\)、点\((V)\)的关系告诉我们对于平面费曼图（我们这里仅需考虑平面费曼图，因为它们具有更高的表观发散度），有
(986)\[\begin{equation}
F - E + V = 2
\end{equation}\]
其中
(987)\[\begin{equation}
F = L + 1 \,, \quad E = \left[ \sum_v (n_b(v) + n_f(v)) - E_b - E_f\right]/2 \,, \quad V = \sum_v 1
\end{equation}\]
将其表达式代入欧拉公式，得到
(988)\[\begin{equation}
L = 1 - \sum_v 1 + \left[ \sum_v (n_b(v) + n_f(v)) - E_b - E_f\right]/2
\end{equation}\]
将其代入(985)，得到
(989)\[\begin{equation}
D= 4 - E_b- \frac{3}{2} E_f + \sum_v \left[n_d(v) + n_b(v) + \frac{3}{2} n_f(v) - 4\right]
\end{equation}\]
注意到方括号中的量恰好是算符耦合的量纲，因此我们有
(990)\[\begin{equation}
D = 4 - E_b - \frac{3}{2} E_f - \sum_v [C_{\cal O_v} ]
\end{equation}\]
这个公式告诉我们，如果拉氏量中含有负质量量纲的耦合，则一个费曼图只要包含足够多的这种耦合，就可以使得其表观发散度为正。我们说，这样的理论是不可重整的，因为需要引入无穷多的抵消项以抵消任意费曼图中出现的紫外发散。。反之，如果拉氏量中的耦合量纲均大于等于零，则只有满足
(991)\[\begin{equation}
4 - E_b - \frac{3}{2} E_f \geq 0
\end{equation}\]
的费曼图存在表观发散。由于\(E_b\)和\(E_f\)均为大于等于零的整数，这种类型的费曼图是有限的。换句话说，我们只需要引入有限多个抵消项就可以抵消所有的紫外发散。这样的理论称作可重整的。
