这一章我们讨论对称性与守恒律的关系。我们已经学过的自由实标量场，到目前为止并未展现太大的复杂度。但一旦引入相互作用，我们将很快赶到捉襟见肘。这时，在我们有限的工具箱中，对称性与守恒律将是强大的一个法宝。
经典力学中的对称性和守恒律
我们从回顾经典力学中的对称性开始。给定一个通过拉氏量描述的\(N\)经典系统，其作用量定义为：
(282)\[\begin{equation}
S = \int_{t_1}^{t_2} L(q^a, \dot{q}^a, t) dt \,, \qquad a = 1, 2, \cdots, N
\end{equation}\]
如果存在无穷小变换：
(283)\[\begin{equation}
q^a \to q^a + \epsilon \hat{\delta} q^a
\end{equation}\]
其中\(\epsilon\)是一个无穷小正实数，使得拉氏量的变化为：
(284)\[\begin{equation}
L \to L + \epsilon \hat{\delta} L = L + \epsilon \frac{d}{dt} F(q^a, \dot q^a)
\end{equation}\]
其中\(F\)是不显含时间的一个函数，则称这个变换为拉氏量的一个连续对称变换。
首先注意的一点是对称变化不改变运动方程。这是因为，变换后的作用量：
(285)\[\begin{equation}
S' = S + F(q^a(t_2), \dot q^a(t_2)) - F(q^a(t_1), \dot q^a(t_1))
\end{equation}\]
与变换前的作用量只相差一个常数，因此运动方程（欧拉-拉格朗日方程）不会发生改变（这里我们用到了作用量变分在作用量积分端点处为零这一事实）。
假设一个经典系统存在连续对称变换，则诺特定理告诉我们，存在与该变换相对应的一个守恒量，记作：
(286)\[\begin{equation}
Q = p^a \hat{\delta} q^a - F(q^a, \dot q^a)
\end{equation}\]
其中\(p^a = \partial L/\partial \dot q^a\)是广义动量。我们可以直接计算\(Q\)的时间导数来证明诺特定理：
(287)\[\begin{align}
\frac{dQ}{dt} &= \dot p^a \hat{\delta} q^a + p^a \hat{\delta} \dot q^a - \frac{d}{dt} F(q^a, \dot q^a) \\
&= \left( \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q^a}\right) \hat{\delta} q^a + \frac{\partial L}{\partial \dot q^a} \hat{\delta} \dot q^a - \frac{d}{dt} F(q^a, \dot q^a) \\
=&\ \frac{\partial L}{\partial q^a} \hat{\delta} q^a + \frac{\partial L}{\partial \dot q^a} \hat{\delta} \dot q^a - \frac{d}{dt} F(q^a, \dot q^a) \\
=&\ \hat{\delta} L - \frac{d}{dt} F(q^a, \dot q^a) \\
= &\ 0
\end{align}\]
诺特定理不仅告诉我们每个连续对称变换对应到一个守恒量，而且还给出了这个守恒量的定义。应该说，这是物理学中难得的既深刻美妙，其证明过程由极为简单的一个定理。下面我们来列举一些例子。
空间平移对称性和动量守恒
设我们有一个拉氏量：
(288)\[\begin{equation}
L = \frac{1}{2} m_1 \dot q_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot q_2^2 - V(|q_1 - q_2|)
\end{equation}\]
这个拉氏量具有平移对称性。在如下变换下：
(289)\[\begin{equation}
q_1 \to q_1 + \epsilon \,, \qquad q_2 \to q_2 + \epsilon
\end{equation}\]
拉氏量的变化为
(290)\[\begin{equation}
\hat{\delta} L = 0 = \frac{d}{dt} F
\end{equation}\]
因此\(F\)是一个常数，不妨取为零。由诺特定理我们立刻得到守恒量：
(291)\[\begin{equation}
P = \frac{\partial L}{\partial \dot q_1} \hat{\delta} q_1 + \frac{\partial L}{\partial \dot q_2} \hat{\delta} q_2 = m_1 \dot q_1 + m_2 \dot q_2
\end{equation}\]
这正是系统的总动量。
时间平移对称性和能量守恒
当拉氏量不显含时间的时候，即\(L = L(q^a(t), \dot q^a(t))\)，我们说系统具有时间平移对称性。考虑无穷小的时间平移：
(292)\[\begin{equation}
q^a(t) \to q^a(t + \epsilon) = q^a(t) + \epsilon \dot q^a(t) + \cdots
\end{equation}\]
拉氏量的变化为
(293)\[\begin{equation}
\hat{\delta} L = \frac{d}{dt} L(q^a(t), \dot q^a(t))
\end{equation}\]
因此\(F = L\)。由诺特定理我们立刻得到守恒量：
(294)\[\begin{equation}
E = \frac{\partial L}{\partial \dot q^a} \hat{\delta} q^a - L = \frac{\partial L}{\partial \dot q^a} \dot q^a - L = p^a \dot q^a - L
\end{equation}\]
而这正是系统的总能量。注意拉氏量不显含时间的条件是重要的。否则，我们将得到
(295)\[\begin{equation}
\hat{\delta} L(q^a(t), \dot{q}^a(t), t) = \frac{\partial L}{\partial q^a} \dot q^a + \frac{\partial L}{\partial \dot q^a} \ddot q^a = \frac{d}{dt}L - \frac{\partial L}{\partial t}
\end{equation}\]
这显然不具有全微分的形式。
量子场论中的对称性和守恒律
仿照经典力学中的方法，我们接下来讨论量子场的对称性和守恒律。给定一个经典实标量场的拉氏量密度：
(296)\[\begin{equation}
\mathcal{L}(\phi, \partial_\mu \phi)
\end{equation}\]
假设存在如下场的无穷小变换：
(297)\[
\begin{equation}
\phi(x) \to \phi'(x) = \phi(x) + \epsilon \hat{\delta} \phi(x)
\end{equation}
\]
使得拉氏量的变化满足：
(298)\[\begin{equation}
\mathcal{L} \to \mathcal{L} + \epsilon \frac{\partial}{\partial x^\mu} F^\mu
\end{equation}\]
换句话说\(\hat{\delta} \mathcal{L} = \partial_\mu F^\mu\)。这里\(F^\mu(\phi, \partial_\nu \phi)\)是一个四维矢量，则称(297)是这个系统的一个对称变换。这时，诺特定理给出如下守恒流：
(299)\[\begin{equation}
j^\mu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \hat{\delta} \phi - F^\mu
\end{equation}\]
它满足如下的四维守恒律：
(300)\[\begin{equation}
\partial_\mu j^\mu = 0
\end{equation}\]
这个公式可以将\(j^\mu\)的表达式代入验证：
(301)\[\begin{align}
\partial_\mu j^\mu &= \left(\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \right) \hat{\delta} \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \hat{\delta} \partial_\mu \phi - \partial_\mu F^\mu \\
&= \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \hat{\delta} \phi
+ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\mu \hat{\delta} \phi - \partial_\mu F^\mu \\
&= \hat{\delta} \mathcal{L} - \partial_\mu F^\mu \\
\end{align}\]
四维守恒公式可用分量形式写出：
(302)\[\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t} j^0 + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0
\end{equation}\]
这正是我们熟知的连续性方程。从四维守恒流出发可以定义守恒荷：
(303)\[\begin{equation}
Q = \int d^3 x\, j^0
\end{equation}\]
当积分区域为全空间时，有
(304)\[\begin{equation}
\frac{dQ}{dt} = \int d^3 x \, (- \nabla \cdot \boldsymbol{j}) = - \int \boldsymbol{dS} \cdot \boldsymbol{j} = 0
\end{equation}\]
在上式中我们假定了流\(\boldsymbol{j}\)在无穷远处为零。
下面我们讨论场论守恒定律的几个重要例子。
时空平移对称性和能量-动量张量
考虑对场作无穷小的时空平移（这里采用主动变换）：
(305)\[\begin{equation}
\phi(x) \to \phi'(x) = \phi(x - \epsilon) = \phi(x) - \epsilon^\nu \partial_\nu \phi(x) + \cdots
\end{equation}\]
在这个变换下，拉氏量密度变为：
(306)\[\begin{equation}
\mathcal{L} \to \mathcal{L} + \epsilon^\nu \partial_\nu \mathcal{L} = \epsilon^\nu \delta^\mu_\nu \partial_\mu \mathcal{L}
\end{equation}\]
由于\(\nu=0,1,2,3\)，这里事实上对应了四个对称变换，因此诺特定理给出四个守恒流，我们用下标\(\nu\)标记：
(307)\[\begin{equation}
T^\mu\,_\nu = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial_\nu \phi - \delta^\mu_\nu \mathcal{L}
\end{equation}\]
或者利用度规张量将指标都提升为逆变指标：
(308)\[
\begin{equation}
T^{\mu\nu} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \partial^\nu \phi - \eta^{\mu\nu} \mathcal{L}
\end{equation}
\]
我们称这个二阶张量\(T^{\mu\nu}\)为能量-动量张量。对应的守恒定律为
(309)\[\begin{equation}
\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0
\end{equation}\]
从能量-动量张量出发可以定义四个守恒荷，记为\(P^\mu\)：
(310)\[\begin{equation}
P^\mu = \int d^3 x\, T^{0\mu}
\end{equation}\]
\(P^0\)正是我们熟知的总哈密顿量（总能量）：
(311)\[\begin{equation}
P^0 = \int d^3 x\, T^{00} = \int d^3 x\, \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\dot \phi)} \dot \phi - \mathcal{L} \right)
= \int d^3 x\, \left( \pi \dot \phi - \mathcal{L} \right)
= \int d^3 x\, \mathcal{H}
\end{equation}\]
其余的三个守恒量可以写成：
(312)\[\begin{equation}
P^i = \int d^3 x\, \boldsymbol{T}^{0i}
= \int d^3 x\, \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\dot \phi)} \partial^i \phi
= \int d^3 x\, \pi \partial^i \phi
\end{equation}\]
或者用矢量记号表示为
(313)\[\begin{equation}
\boldsymbol{P} = - \int d^3 x\, \pi \boldsymbol{\nabla} \phi
\end{equation}\]
我们把它称作总动量算符。
诺特定理不仅告诉我们连续变换对应了守恒量，同时这些守恒量还是对应变换的生成元。以自由标量场为例，能动张量可以作模式展开为：
(314)\[\begin{align}
T^{0\mu}(x) = &\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\dot \phi)} \partial^\mu \phi - \eta^{0\mu} \mathcal{L}
\\
=&\ \pi \partial^\mu \phi - \eta^{0\mu} \frac{1}{2} \left( \partial_\nu \phi \partial^\nu \phi - m^2 \phi^2 \right)
\\
= &\ \pi \partial^\mu \phi - \eta^{0\mu} \frac{1}{2} \left( \dot \phi^2 - (\boldsymbol{\nabla} \phi)^2 - m^2 \phi^2 \right)
\end{align}\]
对于总能量算符：
(315)\[\begin{align}
:P^0: =&\ :\int d^3 x\, T^{00}:
\\
=&\ :\int d^3 x\, \left( \pi \dot \phi - \frac{1}{2} \left( \dot \phi^2 - (\boldsymbol{\nabla} \phi)^2 - m^2 \phi^2 \right) \right):
\\
=&\ : \int d^3 x\, \left( \frac{1}{2} \pi^2 + \frac{1}{2} (\boldsymbol{\nabla} \phi)^2 + \frac{1}{2} m^2 \phi^2 \right):
\\
= &\ \int d^3 k \omega_k a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}
\end{align}\]
上式中我们应用了正规排序以去掉无穷大的真空能效应。同样的对于总动量算符：
(316)\[\begin{align}
:\boldsymbol{P}: =&\ : - \int d^3 x\, \pi \boldsymbol{\nabla} \phi:
\\
=&\ \int d^3 k \, \boldsymbol{k} a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}
\end{align}\]
或者统一写成：
(317)\[\begin{equation}
P^\mu = \int d^3 k \, k^\mu a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}
\end{equation}\]
其中\(k^\mu = (\omega_k, \boldsymbol{k})\)。
对于单粒子态\(|\boldsymbol{k} \rangle\)，四维动量算符的本征值为：
(318)\[\begin{equation}
P^\mu |\boldsymbol{k} \rangle = k^\mu |\boldsymbol{k} \rangle
\end{equation}\]
我们可以直接验证，对于时空平移变换，有：
(319)\[\begin{align}
[P^\mu, \phi(x)] =&\ \int d^3k \, k^\mu [ a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}, \phi(x) ]
\\
=&\ \int d^3 k \frac{d^3 k'}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2\omega_{k'}} } k^\mu [ a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}, a_{\boldsymbol{k}'} e^{-i k' \cdot x} + a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger e^{i k' \cdot x} ]
\\
=&\ \int d^3 k \frac{d^3 k'}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2\omega_{k'}} } k^\mu [ a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}, a_{\boldsymbol{k}'} e^{-i k' \cdot x} ] + \int d^3 k \frac{d^3 k'}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2\omega_{k'}} } k^\mu [ a_{\boldsymbol{k}}^\dagger a_{\boldsymbol{k}}, a_{\boldsymbol{k}'}^\dagger e^{i k' \cdot x} ]
\\
=&\ \int d^3 k \frac{d^3 k'}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2\omega_{k'}} } k^\mu (- \delta^{(3)}(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}') a_{\boldsymbol{k}} e^{-ik'\cdot x}) + \int d^3 k \frac{d^3 k'}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2\omega_{k'}} } k^\mu \delta^{(3)}(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}') a_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i k' \cdot x}
\\
=&\ - i \int \frac{d^3 k}{(2 \pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k}} (a_{\boldsymbol{k}} \partial^\mu e^{-i k \cdot x} + a_{\boldsymbol{k}}^\dagger \partial^\mu e^{i k \cdot x})
\\
= &\ - i \partial^\mu \phi(x)
\end{align}\]
从无穷小的时空平移可以生成有限平移。定义无穷小平移算符
(320)\[\begin{equation}
T(a) = 1 + i \epsilon_\mu P^\mu
\end{equation}\]
则有
(321)\[\begin{align}
T^\dagger(\epsilon) \phi(x) T(\epsilon) = &\ ( 1 - \epsilon_\mu \partial^\mu ) \phi(x) (1 + \epsilon_\nu \partial^\nu) + \cdots
\\
= &\ \phi(x - \epsilon)
\end{align}\]
其有限版本为
(322)\[\begin{equation}
T(a) = \lim_{N \to \infty} \left( 1 + \frac{i a_\mu P^\mu}{N} \right)^N = e^{i a_\mu P^\mu}
\end{equation}\]
这里值得一提的是，(308)中的时空平移守恒流并不是唯一定义的。我们可以通过加上一个全导数项来得到另一个能量-动量张量：
(323)\[\begin{equation}
T'^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda B^{\lambda\mu\nu}
\end{equation}\]
其中\(B^{\lambda \mu \nu}\)关于前两个指标反对称
(324)\[\begin{equation}
B^{\lambda \mu \nu} = - B^{\mu \lambda \nu}
\end{equation}\]
因此新定义的能动张量仍是守恒流
(325)\[\begin{equation}
\partial_\mu T'^{\mu\nu} = 0
\end{equation}\]
通过这个变换，总可以使得\(T'^{\mu\nu}\)是全对称的，\(T'^{\mu\nu} = T'^{\nu\mu}\)。
求对称能动张量还有一个更直接的技巧。注意到能动张量出现在爱因斯坦方程中：
(326)\[\begin{equation}
G^{\mu\nu} = 8 \pi G T^{\mu\nu}
\end{equation}\]
其中
(327)\[\begin{equation}
G^{\mu\nu} = R^{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g^{\mu\nu}
\end{equation}\]
通过黎曼曲率张量构造，是一个对称张量，因此\(T^{\mu\nu}\)也必须是一个对称张量。爱因斯坦方程可以通过如下作用量对一般度规\(g^{\mu\nu}\)求变分得到：
(328)\[\begin{equation}
S = \int d^4 x \left( \frac{1}{16 \pi G} \sqrt{-g} R + \sqrt{-g} \mathcal{L}_{\text{matter}}\right)
\end{equation}\]
其中\(\mathcal{L}_{\text{matter}}\)是物质场的拉氏量。爱因斯坦方程的左侧来源于上式第一项对度规张量的变分，右侧来源于第二项对度规张量的变分。因此有能动张量在一般度规下的定义：
(329)\[\begin{equation}
T^{\mu\nu} = - \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta \sqrt{-g} \mathcal{L}_{\text{matter}}}{\delta g_{\mu\nu}}
\end{equation}\]
其中\(\sqrt{-g} \equiv \sqrt{- \det g}\)。对于闽氏时空的能动张量，只需在上式最后令\(g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}\)。
以自由实标量场为例，
(330)\[\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} g^{\mu\nu} \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} m^2 \phi^2
\end{equation}\]
利用如下度规变换公式
(331)\[\begin{align}
\delta \sqrt{-g} = \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}\,, \quad
\delta g^{\mu\nu} = - g^{\mu\rho} g^{\nu \sigma} \delta g_{\rho \sigma}
\end{align}\]
我们得到
(332)\[\begin{align}
T^{\mu\nu} =&\ - \frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu\nu} {\cal L} + \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi \Big|_{g_{\mu\nu} \to \eta_{\mu\nu}}
\\
=&\ - g^{\mu\nu} {\cal L} + \partial^\mu \phi \partial^\nu \phi
\end{align}\]
这正是我们之前得到的自由标量场的能动张量。
洛伦兹对称性
接下来考虑洛伦兹对称性的后果。洛伦兹变换的定义公式：
(333)\[\begin{equation}
\Lambda^\mu\,_\rho \eta_{\mu\nu} \Lambda^{\nu}\,_\sigma = \eta_{\rho\sigma}
\end{equation}\]
对于无穷小洛伦兹变换：
(334)\[\begin{equation}
\Lambda^\mu\,_\nu = \delta^\mu_\nu + \omega^\mu\,_\nu
\end{equation}\]
代入洛伦兹变换定义式中，得到
(335)\[\begin{equation}
(\delta^\mu_\rho + \omega^\mu\,_\rho) \eta_{\mu\nu} (\delta^\nu_\sigma + \omega^\nu\,_\sigma) = \eta_{\rho\sigma}
\end{equation}\]
展开后得到
(336)\[\begin{equation}
\omega^\mu\,_\rho \eta_{\mu\sigma} + \omega^\nu\,_\sigma \eta_{\rho\nu} = 0
\end{equation}\]
或者写成
(337)\[\begin{equation}
\omega_{\mu\nu} = - \omega_{\nu\mu}
\end{equation}\]
\(\epsilon_{\mu\nu}\)是二阶反对称张量，因此可以写下六个不同的洛伦兹变换。在主动洛伦兹变换下，标量场变为
(338)\[\begin{align}
\phi(x) \to \phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x) = &\ \phi(x_\mu - \omega_{\mu \nu} x^\nu)
\\
= &\ \phi(x) - \omega_{\mu \nu} x^\nu \partial^\mu \phi(x)
\end{align}\]
而拉氏量在洛伦兹变化下的改变为
(339)\[\begin{align}
\mathcal{L} \to \mathcal{L}' = &\ \mathcal{L} - \omega_{\mu \nu} \partial^\mu (x^\nu \mathcal{L})
\end{align}\]
其中我们利用了\(\epsilon_{\mu\nu} (\partial^\mu x^\nu) = 0\)。
由诺特定理，我们得到由\(\omega_{\mu\nu}\)参数化的六个守恒流：
(340)\[\begin{align}
j^\mu(\omega) = &\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \omega_{\sigma \nu} x^\nu \partial^\sigma \phi - \omega^{\mu\nu} x_\nu \mathcal{L}
\\
= &\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \omega_{\sigma\nu} x^\nu \partial^\sigma \phi - \eta^{\mu \sigma}\omega_{\sigma\nu} x^\nu \mathcal{L}
\\
=&\ \omega_{\sigma\nu} x^\nu T^{\mu\sigma}
\end{align}\]
对\(j^0\)分量全空间积分后得到六个守恒荷：
(341)\[\begin{equation}
M^{\mu\nu} = \int d^3 x\, (x^\nu T^{0\mu} - x^\mu T^{0\nu})
\end{equation}\]
其中\(M^{\mu\nu}\)是四维角动量算符。它的空间分量对应通常的角动量：
(342)\[\begin{equation}
M^{ij} = \int d^3 x\, (x^j T^{0i} - x^i T^{0j})\,, \quad \text{or} \quad
J^i = \epsilon^{ijk} M^{jk} = 2 \epsilon^{ijk} \int d^3 x \, x^j T^{0k}
\end{equation}\]
其中\(\epsilon^{ijk}\)是三维Levi-Civita符号。
\(\boldsymbol{J}\)是旋转变换的无穷小生成元，一个有限的旋转变换由
(343)\[\begin{equation}
R(\boldsymbol{\theta}) = \exp(i \boldsymbol{\theta} \cdot \boldsymbol{J} )
\end{equation}\]
给出。
\(\boldsymbol{J}\)作用到单粒子态上应给出它的总角动量。对于静止粒子，轨道角动量为零，因此我们期待\(\boldsymbol{J}\)的本征值该粒子的自旋。对于实标量场，一个动量为零的单粒子态为
(344)\[\begin{equation}
| \boldsymbol{0} \rangle = a_{\boldsymbol{0}}^\dagger |0\rangle
\end{equation}\]
其中\(|0\rangle\)是真空态。角动量算符的作用得到
(345)\[
\begin{align}
\boldsymbol{J} | \boldsymbol{0} \rangle = \boldsymbol{0}
\end{align}
\]
这意味着实标量场的单粒子自旋为零。这个关系可以通过自由场的模式展开计算得到，此处从略。
内部对称性
连续对称性的最后一个重要粒子是内部对称性。设想我们由多于一个实标量场，且具有相同质量\(m\)，则拉氏量可写为
(346)\[\begin{equation}
\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi_a \partial^\mu \phi_a - \frac{1}{2} m^2 \phi_a \phi_a \,, \qquad a = 1, 2, \cdots, N
\end{equation}\]
这里默认了对\(a\)求和。这个拉氏量具有\(SO(N)\)的连续对称性，即
(347)\[\begin{equation}
\phi_a \to \phi_a' = R_{ab}\phi_b
\end{equation}\]
其中\(R_{ab}\)是\(N\)维场空间中的欧氏旋转，满足\(R^T R = 1\)。这个变换的无穷小版本为
(348)\[\begin{equation}
\phi_a \to \phi_a' = \phi_a + \epsilon_{ab} \phi_b
\end{equation}\]
由
(349)\[\begin{equation}
\phi_a \phi_a \to \phi_a' \phi_a' = \phi_a \phi_a + 2 \epsilon_{ab} \phi_a \phi_b = \phi_a \phi_a
\end{equation}\]
可知\(\epsilon_{ab}\)为反对称张量。
守恒流为
(350)\[\begin{align}
j^\mu_{ab} = &\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi_a)} \phi_b - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi_b)} \phi_a
\\
= &\ (\partial^\mu \phi_a) \phi_b - (\partial^\mu \phi_b) \phi_a
\end{align}\]
当\(N=2\)时，更方便的做法是将两个实标量场组合成一个复标量场：
(351)\[\begin{equation}
\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_1 + i \phi_2) \,, \quad \psi^* = \frac{1}{\sqrt{2}} (\phi_1 - i \phi_2)
\end{equation}\]
此时的拉氏量写为
(352)\[\begin{equation}
\mathcal{L} = \partial_\mu \psi^* \partial^\mu \psi - m^2 \psi^* \psi
\end{equation}\]
为了求运动方程，一个方便的做法是将\(\psi\)和\(\psi^*\)解析延拓为两个实场，从而可以认为\(\delta \psi\)和\(\delta \psi^*\)是独立变分。这样得到的欧拉-拉格朗日方程为：
(353)\[\begin{align}
\partial^2 \psi + m^2 \psi = 0\\
\partial^2 \psi^* + m^2 \psi^* = 0
\end{align}\]
与\(\psi\)相对应的动量为
(354)\[\begin{equation}
\pi = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \psi} = \dot \psi^*
\end{equation}\]
而与\(\psi^*\)相对应的动量为
(355)\[\begin{equation}
\pi^* = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot \psi^*} = \dot \psi
\end{equation}\]
从而非零的等时正则对易子为
(356)\[\begin{align}
[\psi(t, \boldsymbol{x}), \dot\psi^*(t, \boldsymbol{y})] = &\ i \delta^{(3)}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})
\\
[\psi^*(t, \boldsymbol{x}), \dot \psi (t, \boldsymbol{y})] = &\ i \delta^{(3)}(\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})
\end{align}\]
复标量场的模式展开与实场类似，单因为没有实条件，因此模式展开中负频和正频部分并不互为厄米共轭：
(357)\[\begin{equation}
\psi(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k}} (b_{\boldsymbol{k}} e^{-i k \cdot x} + c_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i k \cdot x})
\end{equation}\]
对于\(\psi^*\)也类似：
(358)\[\begin{equation}
\psi^*(x) = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^{3/2} \sqrt{2 \omega_k}} (b_{\boldsymbol{k}}^\dagger e^{i k \cdot x} + c_{\boldsymbol{k}} e^{-i k \cdot x})
\end{equation}\]
通过等时对易关系可以求得产生湮灭算符的对易关系如下：
(359)\[\begin{align}
[b_{\boldsymbol{k}}, b_{\boldsymbol{k}'}^\dagger] = &\ \delta^{(3)}(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')
\\
[c_{\boldsymbol{k}}, c_{\boldsymbol{k}'}^\dagger] = &\ \delta^{(3)}(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')
\end{align}\]
其它对易子为零。
自由复标量场拉氏量在如下无穷小对称变换为不变：
(360)\[\begin{equation}
\psi \to \psi' = e^{i \epsilon} \psi = \psi + i \epsilon \psi \,, \quad \psi^* \to \psi^{*'} = e^{-i \epsilon} \psi^* = \psi^* - i \epsilon \psi^*
\end{equation}\]
对应的守恒流为
(361)\[\begin{align}
j^\mu = &\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi)} i \psi - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \psi^*)} i \psi^*
\\
= &\ i (\partial^\mu \psi^*) \psi - i (\partial^\mu \psi) \psi^*
\end{align}\]
守恒荷为
(362)\[\begin{equation}
Q = \int d^3 x\, j^0 = i \int d^3 x\, (\dot \psi^* \psi - \dot \psi \psi^*)
\end{equation}\]
我们把这个守恒荷称作\(U(1)\)荷，原因是对应的对称变换构成\(U(1)\)群。
将自由场的模式展开代入，得到
(363)\[\begin{align}
Q = &\ i \int \frac{d^3 k d^3 k'}{(2 \pi)^3 \sqrt{2 \omega_k} \sqrt{2 \omega_{k'}}} \,
\int d^3x \, \Big[ b_{\boldsymbol{k}}^\dagger b_{\boldsymbol{k}'} e^{i (k - k') \cdot x} (i \omega_k) - b_{\boldsymbol{k}} b_{\boldsymbol{k}'}^\dagger e^{i (k' - k) \cdot x} (- i \omega_k)
\\
&\ + c_{\boldsymbol{k}} c_{\boldsymbol{k}'}^\dagger e^{- i (k - k') \cdot x} (- i \omega_k) - c_{\boldsymbol{k}}^\dagger c_{\boldsymbol{k}'} e^{i (k' - k) \cdot x} ( i \omega_k) \Big]
\\
= &\ \int d^3 k (c_{\boldsymbol{k}}^\dagger c_{\boldsymbol{k}} - b_{\boldsymbol{k}}^\dagger b_{\boldsymbol{k}})
\end{align}\]
复标量场的Fock空间包括两个分支，一个是\(b_{\boldsymbol{k}}\)产生的粒子，另一个是\(c_{\boldsymbol{k}}\)产生的粒子。我们用下标来区分它们。对于单粒子态：
(364)\[\begin{equation}
| \boldsymbol{k}_b \rangle = b_{\boldsymbol{k}}^\dagger |0\rangle \,, \quad | \boldsymbol{k}_c \rangle = c_{\boldsymbol{k}}^\dagger |0\rangle
\end{equation}\]
四维动量算符作用到两类单粒子态上均给出
(365)\[\begin{equation}
P^\mu | \boldsymbol{k}_b \rangle = k^\mu | \boldsymbol{k}_b \rangle \,, \quad P^\mu | \boldsymbol{k}_c \rangle = k^\mu | \boldsymbol{k}_c \rangle
\end{equation}\]
因此它们具有完全一样的能量动量关系（色散关系）。同时它们也都是标量粒子，自旋为零。但它们又并非全同粒子，这可从双粒子态的归一化看出：
(366)\[\begin{align}
\langle \boldsymbol{p}_b, \boldsymbol{q}_c | \boldsymbol{p}'_b, \boldsymbol{q}'_c \rangle = &\ \langle 0 | b_{\boldsymbol{p}} c_{\boldsymbol{q}} b_{\boldsymbol{p}'}^\dagger c_{\boldsymbol{q}'}^\dagger | 0 \rangle
\\
= &\ \langle 0 | b_{\boldsymbol{p}} c_{\boldsymbol{q}} c_{\boldsymbol{q}'}^\dagger b_{\boldsymbol{p}'}^\dagger | 0 \rangle
\\
= &\ \delta^{(3)}(\boldsymbol{p} - \boldsymbol{p}') \delta^{(3)}(\boldsymbol{q} - \boldsymbol{q}')
\end{align}\]
可以看出与单个实标量场不一样，没有交换对称性。那既然它们对应不同粒子，是否存在能区分它们的量子数呢？答案是肯定的，它们具有相反的守恒荷\(Q\)：
(367)\[\begin{equation}
Q | \boldsymbol{k}_b \rangle = - | \boldsymbol{k}_b \rangle \,, \quad Q | \boldsymbol{k}_c \rangle = | \boldsymbol{k}_c \rangle
\end{equation}\]
因此，复标量场存在两类不同粒子，它们具有相同质量和自旋，但相反的\(U(1)\)荷。我们说\(|k_b\rangle\)和\(|k_c\rangle\)互为反粒子。我们将在后面看到，自然界中的正负电荷的起源正是类似的\(U(1)\)对称性导致的。
